Equação de Darcy-Weisbach

A equação de Darcy-Weisbach , em hidráulica , permite calcular a queda de pressão (dissipação de energia) dos condutos , distinguindo as quedas de pressão lineares das singulares (pontuais). É uma equação amplamente utilizada na área.

Apresentação da equação

A equação de Darcy para quedas de pressão é um aprimoramento da equação de Prony e foi desenvolvida por Henry Darcy , antes de ser modificada por Julius Weisbach (cientista alemão) em 1845, que a deu sua forma atual.

A perda de pressão é expressa por:

{\ displaystyle \ Delta P = f_ {D} \, {\ frac {L} {D_ {h}}} \, \ rho {\ frac {V ^ {2}} {2}}}

A queda de pressão, obtida pela divisão da expressão anterior por ρ · g, é expressa por:

{\ displaystyle \ Delta H = f_ {D} \, {\ frac {L} {D_ {h}}} \, {\ frac {V ^ {2}} {2g}}}

com

ΔP - perda de pressão [ Pa ]
ΔH - queda de pressão [ m ]
f D - coeficiente de queda de pressão de Darcy [-]
L - comprimento do tubo [ m ]
ρ - densidade do fluido [ kg m −3 ]
D h - diâmetro hidráulico [ m ]
V - velocidade média do fluido [ m s −1 ]
g - aceleração da gravidade [ m s −2 ]

Os anglo-saxões referem-se a essas duas definições pelos termos queda de pressão e perda de carga .

O coeficiente de queda de pressão depende do regime de fluxo (laminar ou turbulento) e das propriedades do fluido. Em condições isotérmicas, o número de Reynolds , que é a razão entre a potência das forças de inércia e a dissipação viscosa , é suficiente para caracterizar o regime de escoamento.

Coeficientes de queda de pressão

Existem dois coeficientes de queda de pressão. Um é o coeficiente de queda de pressão de Darcy, em referência a Henry Darcy , geralmente usado pelos franceses. É denotado pela letra maiúscula lambda (Λ). O outro, geralmente usado pelos anglo-saxões, é o coeficiente de perda de pressão de Fanning, em referência a John Thomas Fanning , também chamado de coeficiente de atrito porque define a tensão de cisalhamento na parede (ou seja, - digamos, o atrito [ Pa ]) :

{\ displaystyle \ tau = f_ {F} \, \ rho \, {\ frac {V ^ {2}} {2}}}

Esses dois coeficientes expressam a mesma realidade física e estão ligados pela seguinte relação:

{\ displaystyle f_ {D} = 4 \, f_ {F}}

Determinação do coeficiente de perda linear

Vários métodos são usados para definir o coeficiente de perda de pressão. Um dos mais conhecidos usa o diagrama de Moody , que é um ábaco para determinar o coeficiente de perda de pressão a partir do número de Reynolds e da rugosidade ( ) do tubo. Também é possível calcular diretamente este parâmetro a partir de correlações que são a base do diagrama de Moody's: $\ varejpsilon$

para um fluxo laminar em tubo circular, obtemos a expressão de por identificação com a lei de Hagen-Poiseuille: $Re <2000$ $f_D$

f_D = \ frac {64} {Re}

(quer o coeficiente de Fanning: )

f_F = \ frac {16} {Re}

para um fluxo turbulento em um tubo circular , há um grande número de correlações, algumas simples mas imprecisas, outras mais pesadas, mas mais próximas da realidade. $Re> 3000$

Rugosidade para alguns tipos de materiais

Material	Rugosidade ( ) [mm] $\ varejpsilon$
ferro forjado	0,12 - 0,3
tubo rebitado	0,75 - 1-05
galvanizado	0,15 - 0,3
concreto (pequeno tubo)	0,15 - 0,25
concreto áspero	0,9 - 1,5
concreto muito áspero	1,5 - 2,15
galeria de rock	90 - 300

A correlação de Blasius é a mais simples, mas sua validade se reduz a tubos perfeitamente lisos (vidro, PVC, ...):

{\ displaystyle f_ {D} = 0,3164 \, Re ^ {- {\ frac {1} {4}}}}

Correlação de Colebrook , também conhecida como equação de Colebrook-White:

\ frac {1} {\ sqrt {f_D}} = -2 \ log_ {10} \ left (\ frac {2,51} {Re \ sqrt {f_D}} + \ frac {\ varepsilon} {3,7 D } \ direito)

Correlação de Haaland:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = - 1,8 \ log _ {10} \ left ({\ frac {6,9} {Re}} + \ left ( {\ frac {\ varepsilon} {3,7D}} \ right) ^ {1,11} \ right)}

Correlação Swamee - Jain:

{\ displaystyle f_ {D} = {\ frac {0.25} {\ left (\ log _ {10} \ left [{\ frac {\ varepsilon / D} {3.7}} + {\ frac {5, 74} { Re ^ {0.9}}} \ direita] \ direita) ^ {2}}}}

Correlação de Serghides. A comparação foi feita com 70 pontos em uma ampla faixa de valores para o número de Reynolds e rugosidade com um erro absoluto máximo de 0,0031%.

{\ displaystyle A = -2 \ log _ {10} \ left ({\ varepsilon / D \ over 3,7} + {12 \ over {\ mbox {Re}}} \ right)}

{\ displaystyle B = -2 \ log _ {10} \ left ({\ varepsilon / D \ over 3,7} + {2,51A \ over {\ mbox {Re}}} \ right)}

{\ displaystyle C = -2 \ log _ {10} \ left ({\ varepsilon / D \ over 3,7} + {2,51B \ over {\ mbox {Re}}} \ right)}

f_D = \ left (A - \ frac {(B - A) ^ 2} {C - 2B + A} \ right) ^ {- 2}

Correlação de Goudar-Sonnad atualmente a aproximação mais precisa, é dada com um erro absoluto máximo de menos de 0,000 364% para mais de 10.000 pontos entre 4.000 <Re <10 8 e 10 -6 <ε / D <10 -2 .

a = {2 \ over \ ln (10)}

; ;

{\ displaystyle b = {\ varepsilon / D \ over 3,7}}

{\ displaystyle d = {\ ln (10) Re \ over 5.02}}

s = bd + \ ln (d)

;

q = s ^ {\ frac {s} {(s + 1)}}

g = {bd + \ ln {d \ over q}}

;

z = {\ ln {q \ over g}}

Duas possibilidades diferentes estão disponíveis para calcular δ

\ delta_ {LA} = z {{g \ over {g + 1}}}

\ delta_ {CFA} = \ delta_ {LA} \ left ((1 + \ frac {z / 2} {(g + 1) ^ 2 + (z / 3) (2g-1)}) \ right)

\ frac {1} {\ sqrt {f_D}} = a \ esquerda [\ ln {\ esquerda (\ frac {d} {q} \ direita)} + \ delta \ direita]

Stuart W. Churchill desenvolveu uma fórmula para os dois regimes, laminar e turbulento:

{\ displaystyle f_ {D} = 8 \ left (\ left ({\ frac {8} {Re}} \ right) ^ {12} + \ left (A + B \ right) ^ {- 1,5} \ direita) ^ {\ frac {1} {12}}}

{\ displaystyle A = \ left (2 {,} 457 \ ln \ left (\ left (\ left ({\ frac {7} {Re}} \ right) ^ {0,9} +0,27 {\ frac {e} { D}} \ right) ^ {- 1} \ right) \ right) ^ {16}}

B = \ left (\ frac {37530} {Re} \ right) ^ {16}

Em condições turbulentas, alguns autores especificam o campo de aplicação das fórmulas anteriores, dependendo do produto , caracterizando a rugosidade dos tubos: ${\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}}}$

Para (condução suave): RéεD<65{\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}} <65} ${\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}} <65}$
- para : fórmula de Blasius indicada acima; $2300 <\ mbox {Re} <10 ^ {5}$
- para : Hermann fórmula: ; $2300 <\ mbox {Re} <10 ^ {6}$ ${\ displaystyle f_ {D} = 0 {,} 0054 + {\ frac {0 {,} 396} {{\ mbox {Re}} ^ {0,3}}}}$
- para : fórmula Nikuradze : ; ${\ displaystyle 10 ^ {5} <{\ mbox {Re}} <5 \, 10 ^ {6}}$ ${\ displaystyle f_ {D} = 0 {,} 0032 + 0 {,} 221 \, {\ mbox {Re}} ^ {- 0 {,} 237}}$
- para : fórmula de Prandtl e v. Kármán : . ${\ displaystyle {\ mbox {Re}}> 10 ^ {6}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = 2 \, log_ {10} \ left ({{\ mbox {Re}} \, {\ sqrt {f_ {D}} }} \ right) -0 {,} 8}$

Para (condução brusca): RéεD>1300{\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}}> 1300} ${\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}}> 1300}$
- Fórmula de Nikuradze: ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = 2 \, \ log _ {10} \ left ({\ frac {D} {\ varepsilon}} \ right) +1 { ,} 14}$
- Fórmula de Moody's: ${\ displaystyle f_ {D} = 0 {,} 0055 + 0 {,} 15 \, \ left ({\ frac {\ varepsilon} {D}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}$
- Fórmula Eck: ${\ displaystyle f_ {D} = {\ frac {0 {,} 25} {\ left (log_ {10} \ left (3 {,} 71 \, {\ frac {D} {\ varepsilon}} \ right) \ direita) ^ {2}}}}$

Para (tubo intermediário): 65<RéεD<1300{\ displaystyle 65 <{\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}} <1300} ${\ displaystyle 65 <{\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}} <1300}$
- Fórmula de Prandlt e Colebrook mostrada acima (fórmula de Colebrook)
- Fórmula de Altschoul: ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = 1 {,} 8 \, \ log _ {10} \ left ({\ frac {\ mbox {Re}} {{\ mbox {Re}} \, \ left ({\ frac {\ varepsilon} {10 \, D}} \ right) +7}} \ right)}$
- Fórmula Citrini: ${\ displaystyle f_ {D} = {\ frac {1 + {\ frac {8} {{\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}}}}} {\ left (2 \ , \ log _ {10} \ left (3 {,} 71 \ cdot {\ frac {D} {\ varepsilon}} \ right) \ right) ^ {2}}}}$

Notas e referências

(in) Thomas Bradford de Drew , Avanços na engenharia química , vôo. 10, Nova York, Academic Press , Inc,1978, 336 p. ( ISBN 0-12-008510-0 ) , p. 137
Paraschivoiu 2003 , p. 317.
Paraschivoiu 2003 , p. 321.
(em) SE Haaland , " Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in Turbulent Flow " , Journal of Fluids Engineering , vol. 105, n o 1,Março de 1983, p. 89-90 ( DOI 10.1115 / 1.3240948 )
(em) PK Swamee e AK Jain , " Explicit equations for pipe flow problems " , Journal of the Hydraulics Division , Vol. 102, n o 5,1976, p. 657-664
(em) TK Serghides , " Estimate friction factor Accurately " , Chemical Engineering , Vol. 91, n o 5,1984, p. 63-64 ( ISSN 0009-2460 )
(em) CT Goudar e JR Sonnad , " Comparison of the iterative aproximation of the Colebrook-White equation " , Hydrocarbon Processing ,Agosto de 2008( leia online )
(in) CT Goudar e JR Sonnad , " Reformulação explícita da equação de Colebrook-White para o cálculo do fator de atrito de fluxo turbulento " , Industrial and Engineering Chemical Research , Vol. 46,2007, p. 2593-2600 ( DOI 10.1021 / ie0340241 )
Churchill, SW, 1977, "Friction factor equations spans all fluid-flow ranges.", Chem. Eng. , 91
Bohl e Elmendorf 2008 , p. 164-165.

Veja também

Bibliografia

: documento usado como fonte para este artigo.

Ion Paraschivoiu , Michel Prud'homme , Luc Robillard e Patrick Vasseur , Mecânica de Fluidos , Montreal, Presses internationales Polytechnique,2003, 450 p. ( ISBN 2-553-01135-0 ).
(de) Willi Bohl e Wolfgang Elmendorf , Technische Strömungslehre , Würzburg, Vogel Fachbuch,2008, 14 th ed. , 504 p. ( ISBN 978-3-8343-3129-8 )

links externos

Aplicativo da Web com cálculos de queda de pressão para tubos e conduítes