Equação de Laplace

Na análise vetorial , a equação de Laplace é uma equação diferencial parcial elíptica de segunda ordem, cujo nome é uma homenagem ao físico matemático Pierre-Simon de Laplace .

Introduzida para os propósitos da mecânica newtoniana , a equação de Laplace aparece em muitos outros ramos da física teórica: astronomia , eletrostática , mecânica dos fluidos , propagação de calor , difusão , movimento browniano , mecânica quântica .

As funções de solução da equação de Laplace são chamadas de funções harmônicas .

Equação de Laplace tridimensional

Em coordenadas cartesianas em um espaço euclidiano de dimensão 3, o problema consiste em encontrar todas as funções com três variáveis ​​reais que satisfaçam a equação diferencial parcial de segunda ordem: ψ(x,y,z){\ displaystyle \ psi (x, y, z)}

∂2ψ∂x2+∂2ψ∂y2+∂2ψ∂z2=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial z ^ {2}}} = 0}.

Para simplificar a escrita, introduzimos um operador diferencial anotado e chamado de operador de Laplace , ou simplesmente Laplaciano , de forma que a equação diferencial parcial anterior seja escrita de forma compacta: Δ{\ displaystyle \ Delta}

Δψ=0{\ displaystyle \ Delta \ psi = 0}.

Em coordenadas esféricas na convenção raio-colatitude-longitude, a solução geral para a equação de Laplace é

ψ(r,θ,ϕ)=∑eu=0∞∑m=-eueu[NOeumreu+Beumreu+1][VSeumPeum(cos⁡θ)+DeumQeum(cos⁡θ)]eeumϕ{\ displaystyle \ psi (r, \ theta, \ phi) = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} \ left [A_ {lm} r ^ {l} + {\ frac {B_ {lm}} {r ^ {l + 1}}} \ direita] \ esquerda [C_ {lm} P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) + D_ { lm} Q_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) \ right] e ^ {im \ phi}}

onde e são os polinômios de Legendre associados do primeiro e segundo tipo, respectivamente. Como os do segundo tipo apresentam discrepâncias, geralmente não são considerados nos problemas físicos. Além disso, é mais comum combinar os polinômios de Legendre associados e as fases na forma de harmônicos esféricos . Peum(cos⁡θ){\ displaystyle P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta)}Qeum(cos⁡θ){\ displaystyle Q_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta)}eeumϕ{\ displaystyle e ^ {im \ phi}} Yeum(θ,ϕ){\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ phi)}

Em coordenadas cilíndricas , existem duas possibilidades, dependendo das condições de contorno da solução desejada. Se a solução deve oscilar entre dois valores de , em particular um cilindro de raio e altura cujas extremidades são zeradas, então a solução geral terá a forma z{\ displaystyle z}no{\ displaystyle a}h{\ displaystyle h}

ψ(r,θ,z)=∑m=-∞∞∑não=0∞[NOmnãoeum(nãoπrh)+BmnãoKm(nãoπrh)][VSmnãopecado⁡(nãoπzh)+Dmnãocos⁡(nãoπzh)]eeumθ{\ displaystyle \ psi (r, \ theta, z) = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [A_ {mn} I_ {m} \ left ({\ frac {n \ pi r} {h}} \ right) + B_ {mn} K_ {m} \ left ({\ frac {n \ pi r} {h}} \ right) \ right] \ left [C_ {mn} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi z} {h}} \ right) + D_ {mn} \ cos \ left ({\ frac {n \ pi z} {h}} \ right) \ right] e ^ {im \ theta}}

onde e são as funções de Bessel modificadas do primeiro e segundo tipos, respectivamente. eum{\ displaystyle I_ {m}}Km{\ displaystyle K_ {m}}

Se a solução desejada deve ser zero na superfície lateral do cilindro, então a solução geral terá a forma

ψ(r,θ,z)=∑não=0∞∑m=-∞∞[NOmnãoJm(αmnãorno)+BmnãoNÃOm(αmnãorno)][VSmnãosinh⁡(αmnãozno)+Dmnãocosh⁡(αmnãozno)]eeumθ{\ displaystyle \ psi (r, \ theta, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [A_ {mn} J_ {m} \ left (\ alpha _ {mn} {\ frac {r} {a}} \ right) + B_ {mn} N_ {m} \ left (\ alpha _ {mn} {\ frac {r} { a}} \ direita) \ direita] \ esquerda [C_ {mn} \ sinh \ esquerda (\ alpha _ {mn} {\ frac {z} {a}} \ direita) + D_ {mn} \ cosh \ esquerda ( \ alpha _ {mn} {\ frac {z} {a}} \ right) \ right] e ^ {im \ theta}}

onde e são os de Bessel e funções Neumann , respectivamente, e em que é a N- th zero do m- th função de Bessel. Jm{\ displaystyle J_ {m}}NÃOm{\ displaystyle N_ {m}}αmnão{\ displaystyle \ alpha _ {mn}}

Equação de Laplace bidimensional

Em coordenadas cartesianas em um espaço euclidiano de dimensão 2, o problema consiste em encontrar todas as funções com duas variáveis ​​reais que satisfaçam: V(x,y){\ displaystyle V (x, y)}

∂2V∂x2+∂2V∂y2=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial y ^ {2}}} = 0 }.

Mostramos que qualquer função holomórfica fornece soluções da equação de Laplace bidimensional por sua parte real e sua parte imaginária; além disso, essas soluções são ortogonais em todos os pontos.

Lembretes sobre funções holomórficas

Qualquer função polinomial com coeficientes complexos é holomórfica em  ; o mesmo acontece com as funções trigonométricas e a função exponencial (as funções trigonométricas são de fato relativamente próximas da função exponencial, pois podem ser definidas a partir dela usando as fórmulas de Euler ). VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

• A função logaritmo é holomórfica no conjunto dos números complexos privados da meia-linha dos reais negativos (falamos de "corte").
• A função de raiz quadrada pode ser definida por e, portanto, holomórfica onde quer que a função de logaritmo esteja.z=e12em⁡z{\ displaystyle {\ sqrt {z}} = e ^ {{\ frac {1} {2}} \ ln z}}
• Funções trigonométricas recíprocas apresentam cortes e são holomórficas em todos os lugares, exceto nos cortes.
• A função inversa é holomórfica ativada .z↦1/z{\ displaystyle z \ mapsto 1 / z}VS∗{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}

Resultados da equação de Laplace e funções holomórficas

Primeiro teorema

Teorema  -  Toda função holomórfica é harmônica .

Demonstração

Para qualquer função no de classe C 2 era, de acordo com Schwarz teorema  : F{\ displaystyle F}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

∂2F∂x∂y=∂2F∂y∂x{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ parcial x \ parcial y}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial y \ parcial x}}},

do qual deduzimos:

ΔF=4∂(∂¯F){\ displaystyle \ Delta F = 4 \ partial ({\ overline {\ partial}} F)},

onde os dois operadores diferenciais e são definidos por: ∂{\ displaystyle \ parcial}∂¯{\ displaystyle {\ overline {\ partial}}}

∂=12(∂∂x-eu∂∂y),∂¯=12(∂∂x+eu∂∂y){\ displaystyle \ partial = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} - i {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right) , \ qquad {\ overline {\ partial}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} + i {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right)}.

Se for holomórfico, satisfaz ainda mais a equação de Cauchy-Riemann  : F{\ displaystyle F}

∂¯F=0{\ displaystyle {\ overline {\ partial}} F = 0},

de modo a:

ΔF=4∂(∂¯F)=4∂0=0{\ displaystyle \ Delta F = 4 \ parcial ({\ overline {\ parcial}} F) = 4 \ parcial 0 = 0}.

Nota  : (caso especial da decomposição de um vetor Laplaciano ). Se a decomposição de uma função complexa em parte real e parte imaginária for escrita F{\ displaystyle F}

F=V+euΦ{\ displaystyle F = V + i \ Phi}

então o de seu Laplaciano está escrito:

ΔF=ΔV+euΔΦ{\ displaystyle \ Delta F = \ Delta V + i \ Delta \ Phi},

portanto, F é harmônico se e somente se V e é isso. Portanto, a parte real e a parte imaginária de uma função holomórfica são harmônicas. Φ{\ displaystyle \ Phi}

Segundo teorema

Teorema  -  As linhas de nível da parte real e imaginária de uma função holomórfica são ortogonais.

Demonstração

Com as mesmas notações de antes, as equações de Cauchy-Riemann também são escritas:

∂V∂x=∂Φ∂ye∂V∂y=-∂Φ∂x{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial y}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ frac {\ partial V} {\ parcial y}} = - {\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial x}}}

(que é interpretado em termos de transformação conforme ). Deduzimos imediatamente:

∂V∂x⋅∂Φ∂x+∂V∂y⋅∂Φ∂y=0{\ displaystyle {\ frac {\ parcial V} {\ parcial x}} \ cdot {\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial V} {\ parcial y}} \ cdot {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial y}} = 0}.

Reconhecemos aí o produto escalar dos dois vetores:

grad→(V)⋅grad→(Φ)=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} (V) \ cdot {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} (\ Phi) = 0}.

Deduzimos que as curvas com “  constante” e “  constante” são perpendiculares. Em outras palavras, as linhas de campo de são as linhas equipotenciais de (e vice-versa). V(x,y)={\ displaystyle V (x, y) =}Φ(x,y)={\ displaystyle \ Phi (x, y) =}V{\ displaystyle V}Φ{\ displaystyle \ Phi}

Equação de Poisson

Ao substituir o direito nenhum membro por uma função dada f , obtemos a equação de Poisson  : . Δφ=f{\ displaystyle \ Delta \ varphi = f}

Notas e referências

1. Como para qualquer equação diferencial parcial, geralmente é necessário especificar as condições de contorno para que o problema seja matematicamente “bem colocado”. No entanto, pode ser que o problema esteja mal colocado, embora as condições tenham sido fixadas (por exemplo, as condições de contorno de Neumann em toda a borda do domínio). Nenhuma condição inicial é necessária, no entanto.
2. Walter Rudin , real e análise complexa [ detalhe das edições ].

Artigos relacionados

• Teoria potencial
• Análise complexa
• Teoria dos fluxos potenciais de velocidade
• Teorema de Earnshaw