Equação normal

Uma equação normal é um conceito matemático que pode ser encontrado na geometria euclidiana (para uma reta ou plano) e na estatística.

Em geometria

Direita do avião

Em um plano euclidiano afim , a equação de uma linha afim é considerada normal se . Os coeficientes e são então os cossenos direcionadores do normal (N) para a reta que passa pela origem, ou seja, pode-se escrever onde α é o ângulo entre o eixo e o normal, e isso pode ser escrito onde β é o ângulo entre o eixo e o normal. nox+by+vs=0{\ displaystyle ax + by + c = 0}no2+b2=1{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = 1}no{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}no{\ displaystyle a}porque⁡α{\ displaystyle \ cos \ alpha}x{\ displaystyle x}b{\ displaystyle b}porque⁡β{\ displaystyle \ cos \ beta}y{\ displaystyle y}

Em duas dimensões (plano afim), β = π / 2 - α portanto e , portanto efetivamente , mas quando se sobe nas dimensões superiores, não há mais relações triviais entre os cossenos diretores, exceto que a soma de seus quadrados deve ser igual a 1. porque⁡β=pecado⁡α{\ displaystyle \ cos \ beta = \ sin \ alpha}pecado⁡β=porque⁡α{\ displaystyle \ sin \ beta = \ cos \ alpha}porque2⁡α+porque2⁡β=1{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ alpha + \ cos ^ {2} \ beta = 1}

Uma linha do plano admite exatamente duas equações normais, que correspondem às duas escolhas possíveis do vetor normal normalizado .

A vantagem da equação normal é que se M for um ponto de coordenada , a distância do ponto M à linha é igual a . (x,y){\ displaystyle (x, y)}|nox+by+vs|{\ displaystyle | {ax + by + c} |}

Plano de espaço

• Em um espaço euclidiano afim de dimensão 3, uma equação com plano afim é considerada normal se .nox+by+vsz+d=0{\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}no2+b2+vs2=1{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 1}
• Um plano de espaço admite exatamente duas equações normais que correspondem às duas escolhas possíveis do vetor normal normalizado.
• A vantagem da equação normal é que se M for um ponto de coordenada , a distância do ponto M ao plano é igual a .(x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}|nox+by+vsz+d|{\ displaystyle | {ax + by + cz + d} |}
• Podemos generalizar para um hiperplano .

Nas estatísticas

Em estatística , as equações normais são equações matriciais da forma:

t AA x = t A b

ou

• A é uma matriz de números reais de dimensões n × p  ;
• t A é a matriz transposta de A;
• x é um vetor real desconhecido de dimensão p  ;
• b é um vetor conhecido de dimensão n .

Eles são usados ​​para realizar uma regressão linear pelo método dos mínimos quadrados . De uma forma geral, atua da pseudo-solução do sistema linear

A x = b

que não podemos resolver de maneira clássica quando temos mais equações independentes do que incógnitas ( n > p , sistema sobredeterminado).

Referência

“  Programas escolares em vigor na França  ” ( Arquivo • Wikiwix • Archive.is • Google • O que fazer? )

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