Álgebra associativa sobre um campo

Em matemática , uma álgebra associativa sobre um campo (comutativa) é uma das estruturas algébricas usadas na álgebra geral . É um espaço vetorial no qual também é definida uma multiplicação de vetores, que possui as propriedades de bilinearidade (em particular de distributividade ) e de associatividade . Em outras palavras, é uma álgebra associativa e uma álgebra sobre um campo .

Definição

Uma álgebra associativa sobre um campo comutativo , também chamada de -algebra associativa, é um espaço vetorial em dotado de uma multiplicação bilinear tal que NO{\ displaystyle A} K{\ displaystyle \ mathbb {K}}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}K{\ displaystyle \ mathbb {K}} NO×NO→NO{\ displaystyle A \ times A \ a A}

• ( xy ) z = x ( yz ) para todos os x , y e z em ,NO{\ displaystyle A}

onde a imagem de (x, y) é denotada por xy .

Se contém uma unidade, ou seja, um elemento 1 tal que 1 x = x = x 1 para todo x em , então é chamado de álgebra associativa unificada ou unitária. Tal álgebra é um anel e contém o campo base identificando c in com c 1 in . NO{\ displaystyle A}NO{\ displaystyle A}NO{\ displaystyle A}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}NO{\ displaystyle A}

A dimensão de uma álgebra associativa sobre um campo é sua dimensão como espaço vetorial . NO{\ displaystyle A}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}

Exemplos

Álgebras comutativas e unificadas

• Os números complexos formam uma álgebra associativa, comutativa e dimensão unitária 2 do corpo dos números reais .VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
• Os polinômios com coeficientes em forma de álgebra associativa, comutativa e unitária de dimensão infinita sobre .K{\ displaystyle \ mathbb {K}}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}

Álgebras não necessariamente comutativas

• O conjunto de endomorfismos de um espaço vetorial ? de dimensão finita de n , dotado da soma, da multiplicação por um escalar e da composição, forma uma álgebra ? associativa unitária de dimensão finita n² , não comutativa a menos que n = 1.
• O conjunto de matrizes n × n com coeficientes em ?, fornecido com a soma, a multiplicação por um escalar e o produto da matriz, é uma ?-álgebra associativa unitária isomórfica à anterior (portanto, da mesma dimensão): a aplicação que a um endomorfismo associa sua matriz em uma base fixa é um isomorfismo de ?-álgebras (ver matriz de um mapa linear ).
• Mais geralmente, para qualquer espaço vetorial ? V (de dimensão finita ou não), os endomorfismos de V formam uma álgebra ? associativa unitária, não comutativa, a menos que V seja de dimensão igual a 1.
• O quatérnio forma uma álgebra associativa, unitária e não comutativa de tamanho 4 no corpo dos números reais .
• As álgebras simétricas e as álgebras externas de um espaço vetorial são álgebras associativas.
• As álgebras envolventes das álgebras de Lie são álgebras associativas.
• As álgebras de incidência de álgebras associativas localmente finitas de ordens parciais são usadas em combinação .

Contra-exemplos

• A álgebra de Lie são álgebras não associativas.
• As octonions formam uma -álgebra unital não associativa e não comutativa.(O,+,⋅,×){\ displaystyle (\ mathbb {O}, +, \ cdot, \ times)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Veja também

• Álgebra associativa (em um anel)
• Álgebra de Clifford
• Álgebra Envolvente
• Álgebra tensorial

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