Aplicação multilinear
Em álgebra linear , um mapa multilinear é um mapa com vários vectores variáveis e valores dos vectores que é linear em cada variável. Uma aplicação multilinear com valores escalares é chamada de forma multilinear . Uma aplicação multilinear com duas variáveis vetoriais é chamada de bilinear .
Alguns exemplos clássicos:
O estudo sistemático de aplicações multilineares permite obter uma definição geral do determinante, do produto externo e de muitas outras ferramentas de conteúdo geométrico. O ramo da álgebra correspondente é a álgebra multilinear . Mas também existem muitas aplicações no contexto de variedades , em topologia diferencial .
Definição
São um inteiro k > 0 e vetor espaços no mesmo corpo K . Uma aplicação
E1,...,Ek,F{\ displaystyle E_ {1}, \ ldots, E_ {k}, F}
f:E1×...×Ek→F{\ displaystyle f: E_ {1} \ times \ ldots \ times E_ {k} \ a F}![f: E_ {1} \ times \ ldots \ times E_ {k} \ a F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb303b699960c8d4e384d294c87a40378e7819d3)
é dito ser multilinear (ou mais precisamente: k- linear) se for linear em cada variável, ou seja, se, para vetores e escalares a e b ,
x1,...,xk,xeu′{\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {k}, x '_ {i}}![x_ {1}, ..., x_ {k}, x '_ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2f38541dab65623479b8b9e13d38418a3d1197)
f(x1,...,xeu-1,noxeu+bxeu′,xeu+1,...,xk)=nof(x1,...,xeu,...,xk)+bf(x1,...,xeu′,...xk).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {i-1}, ax_ {i} + bx '_ {i}, x_ {i + 1}, \ dots, x_ {k}) = af ( x_ {1}, \ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {k}) + bf (x_ {1}, \ dots, x '_ {i}, \ dots x_ {k}).}![f (x_ {1}, \ dots, x _ {{i-1}}, ax_ {i} + bx '_ {i}, x _ {{i + 1}}, \ dots, x_ {k}) = af (x_ {1}, \ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {k}) + bf (x_ {1}, \ dots, x '_ {i}, \ dots x_ {k}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949b1c1c7acfac2ce091ed20a31c9b14eb5d3318)
Informalmente, podemos representar um mapa k -linear como um mapa de produto de k termos, com uma propriedade do tipo distributiva .
Todas as aplicações k -linéaires de em F é um subespaço de espaço F E 1 × ... × E n de todas as aplicações E 1 × ... × E n na F . É, portanto, um espaço vetorial, que denotamos , ou mais simplesmente quando . O espaço das formas k- lineares em E é denotado .
E1×...×Ek{\ displaystyle E_ {1} \ times \ ldots \ times E_ {k}}
eu(E1,...,Ek;F){\ displaystyle L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F)}
euk(E;F){\ displaystyle L_ {k} (E; F)}
E1=...=Ek=E{\ displaystyle E_ {1} = \ ldots = E_ {k} = E}
euk(E;K){\ displaystyle L_ {k} (E; K)}
euk(E){\ displaystyle L_ {k} (E)}![L_ {k} (E)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424f9e53e60b12607272bfbd440052eb818a51ed)
Se k = 1 , encontramos o espaço de mapas lineares de E em F . Por outro lado, se k > 1 , não devemos confundir o espaço dos mapas multilineares com o espaço dos mapas lineares no espaço vetorial do produto . Por exemplo, de K × K em K , a multiplicação é bilinear, mas não linear, enquanto a projeção é linear, mas não bilinear.
eu(E;F){\ displaystyle L (E; F)}
eu(E1,...,Ek;F){\ displaystyle L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F)}
eu(E1×...×Ek;F){\ displaystyle L (E_ {1} \ times \ ldots \ times E_ {k}; F)}
E1×...×Ek{\ displaystyle E_ {1} \ times \ ldots \ times E_ {k}}
(x1,x2)↦x1x2{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ mapsto x_ {1} x_ {2}}
(x1,x2)↦x1{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ mapsto x_ {1}}![{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ mapsto x_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27267467d663daddae9e9fb2a6205c87d4e04517)
Escrita de componentes
Se (finito ou não) são bases respectivas dos espaços , a aplicação (linear) da restrição
B1,...,Bk{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {1}, \ ldots, {\ mathcal {B}} _ {k}}
E1,...,Ek{\ displaystyle E_ {1}, \ ldots, E_ {k}}![{\ displaystyle E_ {1}, \ ldots, E_ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6f2afabef110ad52353eae6b533151c117e831)
eu(E1,...,Ek;F)→FB1×...×Bk,f↦f|B1×...×Bk{\ displaystyle L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F) \ a F ^ {{\ mathcal {B}} _ {1} \ times \ ldots \ times {\ mathcal {B}} _ {k}}, \ qquad f \ mapsto f_ {| {\ mathcal {B}} _ {1} \ times \ ldots \ times {\ mathcal {B}} _ {k}}}![L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F) \ a F ^ {{{\ mathcal B} _ {1} \ times \ ldots \ times {\ mathcal B} _ {k}}}, \ qquad f \ mapsto f _ {{| {\ mathcal B} _ {1} \ times \ ldots \ times {\ mathcal B} _ {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03da0d157738c69b7a5ee7e5ffd769c4cea8e209)
é bijective (daí é um isomorfismo dos espaços vetoriais ), ou seja, um k mapa -linear é inteiramente determinada pelos seus valores no k -tuples de vectores das bases, e estes valores podem ser quaisquer vectores de F .
Mais concretamente, e presumindo simplificar as notações que
E1=...=EkeB1=...=Bk=(eeu)eu=1,...,não,{\ displaystyle E_ {1} = \ ldots = E_ {k} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ mathcal {B}} _ {1} = \ ldots = {\ mathcal {B}} _ { k} = (e_ {i}) _ {i = 1, \ ldots, n},}![E_ {1} = \ ldots = E_ {k} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ mathcal B} _ {1} = \ ldots = {\ mathcal B} _ {k} = (e_ {i }) _ {{i = 1, \ ldots, n}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94f9eb83295e26d32b047f1a9032073b55bb0d3)
podemos decompor cada vetor
xj=∑eu=1nãoXeu,jeeu.{\ displaystyle x_ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i, j} e_ {i}.}![{\ displaystyle x_ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i, j} e_ {i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63faa3eb35cdc8feb7e4ae16b8f6be2f5316314c)
Então, a expressão de uma forma k- linear no k -uplet torna-se
x1,...,xk{\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {k}}![x_ {1}, ..., x_ {k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b83bf0a25e29a5395cc534f35edc8fa7e2d18ca)
f(x1,...,xk)=f(∑eu1=1nãoXeu1,1eeu1,...,∑euk=1nãoXeuk,keeuk)=∑eu1=1não...∑euk=1não∏j=1kXeuj,jf(eeu1,...,eeuk).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = f \ left (\ sum _ {i_ {1} = 1} ^ {n} X_ {i_ {1}, 1} e_ {i_ {1}}, \ dots, \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {n} X_ {i_ {k}, k} e_ {i_ {k}} \ right) = \ sum _ {i_ {1 } = 1} ^ {n} \ dots \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 1} ^ {k} X_ {i_ {j}, j} f (e_ { i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}}).}![{\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = f \ left (\ sum _ {i_ {1} = 1} ^ {n} X_ {i_ {1}, 1} e_ {i_ {1}}, \ dots, \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {n} X_ {i_ {k}, k} e_ {i_ {k}} \ right) = \ sum _ {i_ {1 } = 1} ^ {n} \ dots \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 1} ^ {k} X_ {i_ {j}, j} f (e_ { i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4468ca7ac00d4aa4361d6b8ca3ed53f6317639db)
O conhecimento dos valores determina totalmente o mapa k- linear f .
nãok{\ displaystyle n ^ {k}}
f(eeu1,...,eeuk){\ displaystyle f (e_ {i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}})}![f (e _ {{i_ {1}}}, \ dots, e _ {{i_ {k}}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3772d602a467f313b751ef15eee4e8c4f81986b)
Em particular, o espaço de k- formas lineares em um espaço vetorial E de dimensão n tem por dimensão .
euk(E){\ displaystyle L_ {k} (E)}
nãok{\ displaystyle n ^ {k}}![n ^ {k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53af70c07e0932d85d2fdb70c56360544c3a0b5a)
Simetria e anti-simetria
Uma aplicação é dita
f∈euk(E;F){\ displaystyle f \ in L_ {k} (E; F)}![f \ in L_ {k} (E; F)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec46cf23c32807eff6e968aa94cefd22702760ef)
-
simétrico se a troca de dois vetores não modificar o resultado:
f(x1,...,xk)=f(x1,...,xeu-1,xj,xeu+1,...,xj-1,xeu,xj+1,...,xk){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = f (x_ {1}, \ dots, x_ {i-1}, x_ {j}, x_ {i + 1}, \ dots , x_ {j-1}, x_ {i}, x_ {j + 1}, \ pontos, x_ {k})}![f (x_ {1}, \ pontos, x_ {k}) = f (x_ {1}, \ pontos, x _ {{i-1}}, x_ {j}, x _ {{i + 1}} , \ dots, x _ {{j-1}}, x_ {i}, x _ {{j + 1}}, \ dots, x_ {k})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f60a6f1c62caa28cd4d109c9759400c7332c26e)
;
-
antissimétrico se a troca de dois vetores tem o efeito de alterar o resultado obtido em seu oposto:
f(x1,...,xk)=-f(x1,...,xeu-1,xj,xeu+1,...,xj-1,xeu,xj+1,...,xk){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = - f (x_ {1}, \ dots, x_ {i-1}, x_ {j}, x_ {i + 1}, \ pontos, x_ {j-1}, x_ {i}, x_ {j + 1}, \ pontos, x_ {k})}![f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = - f (x_ {1}, \ dots, x _ {{i-1}}, x_ {j}, x _ {{i + 1} }, \ dots, x _ {{j-1}}, x_ {i}, x _ {{j + 1}}, \ dots, x_ {k})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ff6ac147954f6a63c95984ff7e2701455af5c4)
.
Várias trocas de vetores sucessivas podem ser realizadas. É então realizada uma permutação dos vetores, obtida como uma sucessão de transposições. Em cada etapa, o resultado não é modificado se f for simétrico e alterado para seu oposto se f for antissimétrico. Finalmente, o efeito de uma permutação geral dos vetores não é modificar o resultado se f for simétrico, e multiplicar pela assinatura da permutação se f for antisimétrico. Em resumo, denotando o grupo simétrico de índice :
Sk{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {k}}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
∀σ∈Sk,f(xσ(1),...,xσ(k))=f(x1,...,xk){\ displaystyle \ forall \ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {k}, \; f (x _ {\ sigma (1)}, \ dots, x _ {\ sigma (k)}) = f (x_ {1}, \ pontos, x_ {k})}![\ forall \ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {k}, \; f (x _ {{\ sigma (1)}}, \ dots, x _ {{\ sigma (k)}}) = f (x_ {1}, \ pontos, x_ {k})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d3bcf3115816aca65cb1e42246d3486953a66a)
;
- se f for anti-simétrico, então:
∀σ∈Sk,f(xσ(1),...,xσ(k))=ε(σ)f(x1,...,xk).{\ displaystyle \ forall \ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {k}, \; f (x _ {\ sigma (1)}, \ dots, x _ {\ sigma (k)}) = \ varejpsilon (\ sigma) f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}).}![\ forall \ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {k}, \; f (x _ {{\ sigma (1)}}, \ dots, x _ {{\ sigma (k)}}) = \ varejpsilon (\ sigma) f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437695c7a5f2fdafd2827d18f08e1de912ea8f0a)
Os subconjuntos correspondentes de , denotados respectivamente e , são subespaços de vetor. Se a característica do corpo K for igual a 2, eles são iguais.
euk(E;F){\ displaystyle L_ {k} (E; F)}
Sk(E;F){\ displaystyle S_ {k} (E; F)}
NOk(E;F){\ displaystyle A_ {k} (E; F)}![A_ {k} (E; F)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8c7911656a9ae7c6a5ed869d248e0502a8f389)
Aplicação alternativa
Diz- se que uma aplicação está se alternando se for cancelada cada vez que for avaliada em um k -uplet contendo dois vetores idênticos:
f∈euk(E;F){\ displaystyle f \ in L_ {k} (E; F)}![f \ in L_ {k} (E; F)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec46cf23c32807eff6e968aa94cefd22702760ef)
[∃eu≠j,xeu=xj]⇒f(x1,...,xk)=0{\ displaystyle [\ exists i \ neq j, x_ {i} = x_ {j}] \ Rightarrow f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = 0.}![{\ displaystyle [\ exists i \ neq j, x_ {i} = x_ {j}] \ Rightarrow f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19a7650e2934ebf6b308e6a0116e9e444188a8c)
Equivalentemente, um k -linear mapear on é alternado se ele desaparece sobre todos os ligados k -uplets. Em particular, se k é estritamente maior do que a dimensão de E , então o único mapa k -linear alternado de em F é o mapa nulo.
Ek{\ displaystyle E ^ {k}}
Ek{\ displaystyle E ^ {k}}![E ^ {k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961bcc395c158e080b1f3cf38ed69576a0fca3b4)
Qualquer aplicação multilinear alternada é anti-simétrica.
Se a característica do campo K for diferente de 2, verifica-se o inverso: qualquer aplicação multilinear antissimétrica é alternada.
Alternativo n- linear aplicação em n dimensão
Nesta seção, assumimos que o espaço E é de dimensão finita ne estudamos o caso particular k = n . Para F = K , este estudo fornece uma definição alternativa de determinar em uma base e de um n- vetores, ou a matriz , quando definida antecipadamente pela fórmula de Leibniz .
Se E tem uma base , podemos decompor cada vetor
e=(e1,...,enão){\ displaystyle e = (e_ {1}, \ dots, e_ {n})}![{\ displaystyle e = (e_ {1}, \ dots, e_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e2ba10fcda904bcb312c50c61a3480b59fe8bd)
xj=∑eu=1nãoXeu,jeeu{\ displaystyle x_ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i, j} e_ {i}}![x_ {j} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} X _ {{i, j}} e_ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0866b1687b7d0bdb62ab47dea226ce62d9d79cc0)
.
Então, a expressão de uma forma n- linear f no n -tupleto ( ver acima ) é simplificada quando f é alternado (portanto, também antissimétrica):
x1,...,xnão{\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}![x_ {1}, \ pontos, x_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5afdbc2d248d8fa9ba2c4f5188d946a0537e753)
f(x1,...,xnão)=(∑σ∈Snãoε(σ)∏j=1nãoXσ(j),j)f(e1,...,enão)=dete(x1,...,xnão)f(e1,...,enão){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ left (\ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ varejpsilon (\ sigma) \ prod _ {j = 1} ^ {n} X _ {\ sigma (j), j} \ direita) f (e_ {1}, \ pontos, e_ {n}) = {\ det} _ {e} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) f (e_ {1}, \ dots, e_ {n})}![{\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ left (\ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ varejpsilon (\ sigma) \ prod _ {j = 1} ^ {n} X _ {\ sigma (j), j} \ direita) f (e_ {1}, \ pontos, e_ {n}) = {\ det} _ {e} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) f (e_ {1}, \ dots, e_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae9a853e0ad21afea918ebdfb1d785aea2bf471)
.
Assim, o conhecimento do único vetor é suficiente para determinar completamente a função f , e o mapa é a única forma n- linear alternada f tal que .
f(e1,...,enão){\ displaystyle f (e_ {1}, \ dots, e_ {n})}
dete{\ displaystyle {\ det} _ {e}}
f(e1,...,enão)=1{\ displaystyle f (e_ {1}, \ dots, e_ {n}) = 1}![{\ displaystyle f (e_ {1}, \ dots, e_ {n}) = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d563341fae3d5f2063c3428d5be4a164172a9a3d)
Teorema - Se E é de dimensão N , então o espaço de aplicações de n alternada -linéaires E N em F é isomorfa a F .
NOnão(E;F){\ displaystyle A_ {n} (E; F)}![A_ {n} (E; F)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1ca965d89ed04ba06d6631209032ea9748989c)
Nota: este teorema permite orientar espaços vetoriais reais escolhendo, no caso em que F = R, na linha A formas n-lineares alternadas, uma ou outra das meias-linhas A 'ou A' 'e por chamando planos vetoriais orientados aos pares (E, A) ou (E, A ').
Aplicação k dimensão linear alternada n> k
Voltando ao caso de um mapa k- linear alternativo na dimensão n , assumimos desta vez que n> k (lembre-se de que se n <k , qualquer mapa k- linear alternativo é zero). Apenas parte dos resultados anteriores podem ser estendidos. Sempre é possível deletar termos onde o mesmo vetor aparece duas vezes; ele vem
f(x1,...,xk)=∑(eu1,...,euk)∈J∏j=1kXeuj,jf(eeu1,...,eeuk){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = \ sum _ {(i_ {1}, \ dots, i_ {k}) \ in J} \ prod _ {j = 1} ^ {k} X_ {i_ {j}, j} f (e_ {i_ {1}}, \ pontos, e_ {i_ {k}})}![f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = \ sum _ {{(i_ {1}, \ dots, i_ {k}) \ in J}} \ prod _ {{j = 1}} ^ {k} X _ {{i_ {j}, j}} f (e _ {{i_ {1}}}, \ dots, e _ {{i_ {k}}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bbc803888935d70e85e5a89183c8a947b6a5fc)
onde J é o conjunto de k -uplos com cada um em [| 1, n |] e todos distintos. Além disso, por antissimetria, é possível reordenar os termos em f de modo a manter apenas uma combinação de termos da forma
(eu1,...,euk){\ displaystyle (i_ {1}, ..., i_ {k})}
euj{\ displaystyle i_ {j}}
euj{\ displaystyle i_ {j}}![eu j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a1a26ae2490839d7917cfabc4f6c8c62d9fb04)
f(eeu1,...,eeuk) com 1≤eu1<eu2<⋯<euk-1<euk≤não.{\ displaystyle f (e_ {i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}}) \ qquad {\ text {with}} 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ dots <i_ {k-1} <i_ {k} \ leq n.}![{\ displaystyle f (e_ {i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}}) \ qquad {\ text {with}} 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ dots <i_ {k-1} <i_ {k} \ leq n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b033c420bce8f19e4b2eaab72d03f8a668a63298)
O número dessas k -uplas reordenadas é o coeficiente binomial , e uma forma k- linear alternada é caracterizada pelos dados do valor de f nessas k -uplas. Em última análise, o teorema anterior generaliza para:
(nãok){\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}![{\ tbinom {n} {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206415d3742167e319b2e52c2ca7563b799abad7)
Teorema - Se E é de dimensão n , então o espaço de k- mapas alternados lineares de E k em F é isomorfo a
NOk(E;F){\ displaystyle A_ {k} (E; F)}![A_ {k} (E; F)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8c7911656a9ae7c6a5ed869d248e0502a8f389)
F(nãok).{\ displaystyle F ^ {\ tbinom {n} {k}}.}
Mais precisamente, a fórmula de decomposição pode ser escrita usando a noção de determinante: cada coeficiente é um menor da matriz representativa da família de vetores na base de .
xeu{\ displaystyle x_ {i}}
ej{\ displaystyle e_ {j}}![e_ {j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64afd228cf00e5024b9cdd277462d24ab97b6d3e)
f(x1,...,xk)=∑1≤eu1<eu2<⋯<euk-1<euk≤não|Xeu1;1Xeu1;2...Xeu1;kXeu2;1Xeu2;2...Xeu2;k⋮⋮⋱⋮Xeuk;1Xeuk;2...Xeuk;k|f(eeu1,...,eeuk).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ dots <i_ {k-1} <i_ {k} \ leq n} {\ begin {vmatrix} X_ {i_ {1}; 1} & X_ {i_ {1}; 2} & \ dots & X_ {i_ {1}; k} \\ X_ {i_ {2} ; 1} & X_ {i_ {2}; 2} & \ dots & X_ {i_ {2}; k} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ X_ {i_ {k}; 1} & X_ {i_ {k}; 2} & \ dots & X_ {i_ {k}; k} \ end {vmatrix}} f (e_ {i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}}) .}![{\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ dots <i_ {k-1} <i_ {k} \ leq n} {\ begin {vmatrix} X_ {i_ {1}; 1} & X_ {i_ {1}; 2} & \ dots & X_ {i_ {1}; k} \\ X_ {i_ {2} ; 1} & X_ {i_ {2}; 2} & \ dots & X_ {i_ {2}; k} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ X_ {i_ {k}; 1} & X_ {i_ {k}; 2} & \ dots & X_ {i_ {k}; k} \ end {vmatrix}} f (e_ {i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}}) .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c1f2d996470775c7281fbc186dcaabeddf6136)
Observação
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Para uma demonstração, veja por exemplo a lição sobre Wikiversidade .
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Jean Dieudonné, álgebra linear e geometria elementar , Paris, Hermann ,1964, pp. 78-83 para aviões vetoriais
Veja também
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Bibliografia
Roger Godement , curso de álgebra