Em teoria de probabilidade e estatística , a assimetria ( assimetria em inglês) é uma medida da assimetria da distribuição de uma variável aleatória real .
Este é o primeiro dos parâmetros de forma , junto com a curtose (parâmetros baseados em momentos de ordem 5 e acima não têm nome atribuído).
Em termos gerais, a assimetria de uma distribuição é positiva se a cauda direita (em valores altos) for mais longa ou gorda, e negativa se a cauda esquerda (em valores baixos) for mais longa ou gorda.
Dada uma variável real aleatória X com média μ e desvio padrão σ , definimos seu coeficiente de assimetria como o momento de ordem três da variável centrada reduzida :
quando essa esperança existe. Então nós temos :
com os momentos centrados de ordem i e κ i os cumulantes de ordem i .
Os momentos centrados μ i e os momentos cumulativos κ i tendo por dimensão aquela da variável X elevada à potência i , o coeficiente de assimetria γ 1 é uma grandeza adimensional .
Seja X uma variável aleatória real e a soma de n realizações independentes de X (exemplo: a lei binomial dos parâmetros n e p , soma de n realizações independentes da lei de Bernoulli do parâmetro p ). Graças à propriedade de aditividade dos cumulantes , sabemos que κ i ( Y ) = n κ i ( X ) , portanto:
Uma aplicação ingênua da definição teórica γ 1 do coeficiente de assimetria produz uma medida enviesada. Um estimador imparcial para a distribuição normal de assimetria é:
onde e são estimadores imparciais de expectativa e variância, respectivamente.
Karl Pearson propôs outras estimativas de assimetria por cálculos mais simples, não usando momentos, mas outros parâmetros estatísticos:
Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson (assimetria de modo)O coeficiente de assimetria de modo de Pearson é dado por:
médio - modadesvio padrão.Coeficiente de assimetria de Pearson de segundo (assimetria mediana)O coeficiente de assimetria mediano de Pearson é dado por:
3 ( média - mediana )desvio padrão.A medida de assimetria proposta por Bowley (em 1901), ou coeficiente de Yule (de 1912), medida de assimetria de Galton ou índice de Yule - Kendall é definida por:
.Pela segunda forma, vemos que o numerador é a diferença entre a média do primeiro e terceiro quartis (medida de localização) e a mediana, enquanto o denominador representa o desvio médio absoluto da dispersão (em casos simétricos).
Uma formulação mais geral de uma função de assimetria foi descrita por Groeneveld e Meeden:
onde F é a função de distribuição . Obtemos assim uma medida geral da assimetria definida pelo supremo desta função para 1/2 ≤ u <1 . Outra medida pode ser obtida com as integrais dos numeradores e denominadores desta expressão. A função γ ( u ) satisfaz −1 ≤ γ ( u ) ≤ 1 e é bem definida sem exigir a existência de todos os momentos da distribuição considerada. Embora as medidas de assimetria por quantis sejam fáceis de interpretar, elas tendem a variar mais do que cálculos por momentos. Por exemplo, a distribuição uniforme tem uma assimetria de quantis maior.
O coeficiente de Yule corresponde a γ (3/4) e a medida de Kelley é γ (0,1) .
Medir a assimetria da distribuição de uma variável aleatória real equivale a avaliar quantitativamente a diferença entre essa distribuição e sua imagem no espelho: há reflexão em relação ao ponto médio, daí um vínculo formal com as medidas de quiralidade. Esta medição de assimetria pode ser realizada com o índice quiral. No caso de uma distribuição de variância finita e diferente de zero, ela é dada por:
onde é o limite superior do coeficiente de correlação entre a distribuição e sua imagem no espelho. O índice quiral assume valores no intervalo [0; 1/2]. No caso de n observações, é o coeficiente de correlação entre as observações classificadas por valores crescentes e as observações classificadas por valores decrescentes. Ao contrário de outras medidas de assimetria, o índice quiral desaparece se e somente se a distribuição for simétrica, no sentido de simetria indireta.