Média

Em matemática , a média é uma ferramenta de cálculo para resumir uma lista de valores numéricos em um único número real , independentemente da ordem em que a lista é dada. Por padrão, esta é a média aritmética , que é calculada como a soma dos termos na lista dividida pelo número de termos. Outras médias podem ser mais apropriadas dependendo do contexto.

A média é um dos primeiros indicadores estatísticos para uma série de números. Quando esses números representam uma quantidade compartilhada entre os indivíduos, a média expressa o valor que cada um teria se o compartilhamento fosse justo.

A noção de média se estende a funções com o valor médio , na geometria clássica com o baricentro e na teoria da probabilidade com a expectativa de uma variável aleatória .

Motivação

Valor intermediário

A noção de média está historicamente ligada à de valor intermediário, também chamada de mediedade . Dados dois números $um$ e $b$ , como escolher um valor $c$ para que $um$ é $c$ que $c$ é $b$ ? A resposta difere dependendo da operação escolhida para ir de um número a outro.

Por exemplo, para ir de 2 a 18, podemos somar duas vezes 8, com degrau em 10, ou multiplicar duas vezes por 3, com degrau em 6. O primeiro caso descreve uma média aritmética , que é obtida pela fração . O segundo caso é uma média geométrica , que é obtida com a raiz quadrada . ${\ displaystyle {\ frac {2 + 18} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ vezes 18}}}$

As usuais identidades notáveis tornam possível mostrar rapidamente que a média geométrica de dois números positivos é sempre menor do que sua média aritmética.

Uma prova da desigualdade aritmética-geométrica em dois valores

Se $a$ e $b$ são dois reais tais que $a < b$ , da identidade de Legendre

4ab = (a + b) ^ {2} - (ab) ^ {2}

nós deduzimos

ab <{\ frac {(a + b) ^ {2}} 4}

e concluímos aplicando a função raiz quadrada (que é estritamente crescente).

Equalização

Outra forma de definir essas médias é acumular os números escolhidos e, em seguida, descobrir como podemos obter o mesmo resultado acumulando o mesmo valor várias vezes. Tudo depende do procedimento de acumulação. Com uma adição, encontramos 2 + 18 = 20, que poderíamos ter obtido definindo 10 + 10 = 20. Com uma multiplicação, encontramos 2 × 18 = 36, que poderíamos ter obtido com 6 × 6 = 36.

Outros processos de acumulação em dois números $um$ e $b$ torná-lo possível definir a média harmónica e a média quadrática . ${\ displaystyle {\ frac {2ab} {a + b}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} \ over 2}}}$

Esta abordagem torna possível definir médias para listas de mais de dois números.

Posição de equilibrio

A média também pode ser concretizada pelo ponto de equilíbrio de um conjunto finito de massas pontuais posicionadas ao longo da reta numérica , como em um móvel .

Esta abordagem permite introduzir naturalmente a noção de média ponderada . Por exemplo, você pode querer que a média seja três vezes mais próxima do primeiro valor do que do segundo. Entre 7 e 19, o número 10 é de fato três vezes mais próximo de 7 (com uma diferença de 3) do que de 19 (com uma diferença de 9). Dizemos então que 10 é a média ponderada dos números 7 e 19 com os coeficientes 3 e 1. Ela é encontrada pelo cálculo da soma ponderada que é dividida pela soma dos coeficientes . ${\ displaystyle {\ frac {3 \ times 7 + 1 \ times 19} {3 + 1}} = {\ frac {40} {4}} = 10}$

Formulações

Média aritmética

Para qualquer lista $( x 1 , ..., x n )$ de números reais, definimos sua média aritmética pela fórmula , que não depende da ordem dos termos e está sempre entre os valores mínimo e máximo do Lista. ${\ displaystyle {\ overline {x}} = {1 \ over n} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}}}$

Essa média é linear , ou seja, a adição ou a multiplicação por uma constante nos valores da lista resulta na mesma operação na média.

Para calcular uma média em uma lista na qual muitos valores são repetidos, podemos escrever $( x 1 , ..., x k )$ a lista de valores (sem repetição) e $( n 1 , ..., n k )$ a lista efetiva (o número de vezes que cada valor aparece na lista inicial). A média é então escrita . ${\ displaystyle {\ overline {x}} = {1 \ over \ sum _ {i = 1} ^ {k} n_ {i}} \ sum _ {i = 1} ^ {k} {n_ {i} x_ {eu}}}$

Encontramos a noção de média ponderada , em que os fatores $n i$ não representam necessariamente números, mas coeficientes chamados pesos , por exemplo, para calcular a média das notas em um boletim em que queremos dar mais importância a certas disciplinas ou certas atribuições, atribuindo-lhes um coeficiente maior que os demais.

A média aritmética também é cumulativa, ou seja, se a lista for dividida em várias sublistas, a média da lista global é a média ponderada das médias das sublistas, com os coeficientes de cada sublista como coeficientes. Lista o número de termos afetados.

Médias generalizadas

Dada uma lista $( x 1 , ..., x n )$ de reais positivos (ou mesmo estritamente positivo para a média harmônica), com possivelmente uma lista $( w 1 , ..., w n )$ de pesos associados, positivos e não todos zero, as seguintes médias usuais são definidas.

Expressões médias usuais

Sobrenome	Média bruta	Média ponderada
média aritmética	${\ displaystyle {\ overline {x}} _ {\ rm {A}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} \ cdot x_ {i}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} }}}}$
média harmônica	${\ displaystyle {\ overline {x}} _ {\ rm {H}} = {\ frac {n} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {1 \ over x_ {i}}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i}} {x_ {i }}}}}}$
média geométrica	${\ displaystyle {\ overline {x}} _ {\ rm {G}} = {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}}}$	${\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ right) ^ {1 / \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ { eu}}}$
raiz quadrada média	${\ displaystyle {\ overline {x}} _ {\ rm {Q}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {1} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} x_ {i} ^ {2}}}}}$

Essas médias assumem certas propriedades da média aritmética:

a média não depende da ordem dos termos;
a média está sempre entre o valor mínimo e o valor máximo da lista;
a média é homogênea , ou seja, se todos os valores da lista são multiplicados pelo mesmo fator, a média é multiplicada por esse mesmo fator;
a média é cumulativa, ou seja, se a lista for dividida em várias sublistas, a média da lista global é a média ponderada das médias das sublistas, com os coeficientes de cada sublista como número de termos afetados.

Além disso, essas médias são sempre ordenadas pelas seguintes desigualdades que estendem a desigualdade aritmético-geométrica :

{\ displaystyle {\ overline {x}} _ {\ rm {H}} \ leq {\ overline {x}} _ {\ rm {G}} \ leq {\ overline {x}} \ leq {\ overline { x}} _ {\ rm {Q}}}

Todas essas médias são obtidas na forma ou como limite de expressões nesta forma, e se enquadram na definição de média generalizada . Mais precisamente, encontramos: ${\ displaystyle {\ sqrt [{m}] {{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} ^ {m}}}}}$

para $m = 1$ , a média aritmética;
para $m = 2$ , a raiz quadrada média;
para $m = -1$ , a média harmônica;
quando $m \to 0$ , o limite de $x m$ é a média geométrica;
quando $m \to + \infty$ , o limite de $x m$ é o máximo da série;
quando $m \to -\infty$ , o limite de $x m$ é o mínimo da série.

Meios quase aritméticos

Podemos definir a média de energia da seguinte forma:

{\ bar {x}} = 10 \ log _ {{10}} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {10 ^ {{x_ {i} / 10}}} \ right) \,

É a média dos valores dados em decibéis , usados por exemplo na acústica .

Essa média não é homogênea, mas permanece cumulativa, enquadrada pelo máximo e pelo mínimo. É parte da família de meios quase aritméticos que são escritos na forma , onde $f$ é uma função real contínua e estritamente crescente em um intervalo contendo os valores da lista e $f$ $-1$ é sua função recíproca . Em particular, encontramos médias homogêneas com as funções de potência ou com a função logaritmo . A média de energia é obtida com a função . ${\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ overline {f (x)}}) = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i}) \ direita)}$ ${\ displaystyle x \ mapsto 10 ^ {x / 10}}$

Média aritmética-geométrica

A partir de dois números $um$ e $b$ , a média aritmética e a média geométrica proporcionando dois novos números, e que pode iterar o processo para obter duas sequências adjacentes que convergem no sentido de uma verdadeira intermediário (por vezes observado $M ( um , b )$ ) chamado aritmética-geométrica média e que está relacionada ao comprimento de uma elipse .

No entanto, essa definição não é cumulativa e, portanto, não se estende a mais de dois valores.

Muirhead Average

Dada uma lista $(a 1 , ..., a n)$ de números reais e uma lista $(x 1 , ..., x n)$ de reais estritamente positivos, a $um$ -mean de $x$ é igual à média aritmética do monomios da forma $X 1 um σ (1) \times \dots \times x n é σ (n)$ quando $σ$ descreve o conjunto de permutações de $⟦1, n ⟧$ .

Essa média é homogênea quando a soma dos expoentes $a i$ é igual a 1 e, neste caso, é chamada de média de Muirhead .

No caso especial $n = 2$ , essa média é chamada de média de Heinz .

Usos

Avaliação global

A média é muito utilizada na avaliação escolar . Em muitos sistemas escolares, parte da avaliação do aluno resulta em uma pontuação numérica, por exemplo

na França, Tunísia, Argélia e Marrocos: de 0 a 10 ou de 0 a 20 (sendo 0 a pior pontuação, 10 ou 20 a melhor);
na Suíça: de 1 a 6 (sendo 1 a pior pontuação, 6 a melhor);
na Alemanha: 6 a 1 (6 sendo a pior pontuação, 1 a melhor);
no Canadá: 0 a 100 (sendo 0 a pior pontuação, 100 a melhor);
na Dinamarca: -3 a 12 (-3 sendo a pior pontuação, 12 a melhor).

Podemos então calcular a média das notas de uma classe em uma disciplina, ou a média das notas de um aluno em uma disciplina. Essas médias têm significados diferentes:

a média da classe deve representar um “nível agregado”, se é que isso faz sentido;
no caso de um exame de grande escala, como o bacharelado na França , onde muitos alunos fazem o mesmo teste, mas são corrigidos por professores diferentes, a diferença nas médias entre os grupos pode indicar uma diferença na correção de acordo com o professor ( uns sendo mais severos, outros mais tolerantes), podendo-se, por exemplo, fazer uma correção de marcas, um “matching”, para que todos os grupos tenham a mesma média; por exemplo, se m 1 , m 2 … são as médias do grupo e M a média geral, então as pontuações do grupo i serão multiplicadas por M / m i ;
no caso de aluno: a média das notas de uma disciplina permite nivelar os resultados; assim, se os resultados são flutuantes, as fraquezas de um momento são superadas pelos sucessos de outro momento;
a média das notas de um aluno em várias disciplinas é outra forma de nivelar os resultados, já não no tempo mas consoante a disciplina: os pontos fortes alcançam os pontos fracos; a média é então um critério de seleção, sabendo que o que se pede a um aluno não é que seja bom em todos os lugares, mas que tem qualidades que permitem suprir seus defeitos; quando certos assuntos são mais importantes do que outros, coeficientes de ponderação são aplicados (veja abaixo ).

Nestes exemplos, a média é uma suavização dos valores. É claro que se pode perguntar se a média é um critério de seleção relevante (ver avaliação somativa ); em geral, esse não é o único critério levado em consideração, com exceção de alguns exames e competições.

Estatístico

A média é o valor único que todos os indivíduos em uma população (ou amostra ) devem ter para que seu total permaneça inalterado. É um critério de posição .

Na maioria dos casos, o total formado pelos indivíduos em uma população é a soma de seus valores . A média é então a média aritmética . Mas se o total representado por uma população ou amostra não for a soma de seus valores, a média relevante não será mais a média aritmética.

Se, por exemplo, o total de um conjunto de indivíduos é o produto de seus valores, sua média geométrica deve ser calculada .

A média, portanto, só pode ser concebida para uma variável quantitativa . Você não pode somar os valores de uma variável categórica . Quando a variável é ordinal , preferimos a mediana .

Geometria

O baricentro de um conjunto finito de pontos do plano ou do espaço afim (possivelmente dotado de pesos positivos ou negativos) é definido por uma relação vetorial e corresponde essencialmente à noção física de centro de massa .

As coordenadas cartesianas desse baricentro em um referencial são então dadas pela média aritmética ponderada das coordenadas dos vários pontos.

Análise

O lema Cesàro garante que para qualquer $u$ seguinte converge , seguindo as médias parciais também converge para o mesmo limite. ${\ displaystyle \ left ({\ dfrac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Este resultado permite estender a noção de limite a sequências divergentes mas para as quais converge a sequência de médias parciais, como por exemplo a sequência $((-1) n) n ⩾0$ , cujas médias parciais tendem a 0, ou a sequência de médias parciais, séries associadas, chamadas de série Grandi , às quais atribuímos o limite $1/2$ .

Este método é usado, por exemplo, na definição da soma de Fejér .

Probabilidades

A média empírica de uma amostra de variáveis aleatórias reais $(X 1 , ..., X n)$ é simplesmente a média aritmética dessas variáveis, anotadas ou . É uma variável que tem a mesma expectativa que as variáveis $X$ $i,$ mas uma variância dividida por $n$ (sob a condição de existência). É usado em particular como um estimador (estatístico) da expectativa. $\ overline X$ ${\ displaystyle {\ overline {X}} _ {n}}$

Fisica

As regras de conservação para as diferentes quantidades físicas levam ao uso de diferentes meios.

Assim, a capacidade elétrica média dos capacitores em série é a média harmônica de suas capacidades, como a resistência média (eletricidade) dos condutores ôhmicos em paralelo .

Como a energia cinética é linearmente dependente do quadrado da velocidade , a velocidade média de um conjunto de partículas agitadas termicamente é a raiz quadrada média das velocidades individuais.

Extensões do conceito de meio

Além das definições anteriores de média, existem outras abordagens mais abrangentes para esta noção:

Média móvel (ou "móvel")

A média móvel é um conceito estatístico, onde a média em vez de ser calculada em n valores fixos, é calculada em n valores “deslizantes” consecutivos.

Este tipo de cálculo também é usado no processamento de dados para minimizar o tamanho da memória necessária para o armazenamento de valores intermediários. Existem diferentes fórmulas de médias móveis, por exemplo, para uma média móvel do período n :

{\ bar {x}} _ {0} = x_ {0}

(uma média móvel do período 0 leva apenas um termo)

{\ bar {x}} _ {n} = {\ frac {{\ bar {x}} _ {{n-1}} \ cdot (n-1) + x_ {n}} {n}}

(fórmula de recorrência )

Truncado (ou "reduzido") significa

Uma média truncada é um cálculo de média aritmética aplicado após ignorar os valores mais externos dos dados. A ideia de truncamento, operação cujo resultado é denominado truncamento do conjunto de dados, é não levar em consideração os valores mais distantes, considerados então como outliers, e assim, no caso da chamada média truncada , para calculá-lo apenas em um subconjunto “central” dos dados, o truncamento. Observe que este procedimento pode ser generalizado para outros estimadores centrais.

Estatísticas truncadas, estimadores cortados em inglês (in) , foram inventados para superar a sensibilidade estatística a outliers, chamada de robustez estatística . A sua vantagem sobre a mediana e sobre a média aritmética é combinar a robustez da mediana com a definição "coletiva" da média aritmética, a fórmula de cálculo muito semelhante à desta média aritmética, dando-lhe uma vantagem psicológica sobre a mediana cuja maior falha (!) não deve ser escrita com uma fórmula simplesmente aritmética.

Historicamente, esta técnica teve seu auge na primeira metade do XX ° século como um método de outliers "correção", e com o aparecimento dos primeiros computadores, em especial para o trabalho mais recente para entender melhor o conceito de robustez ( Peter Rousseeuw (en) ).

Média ponderada

A média ponderada é usada, em geometria para localizar o baricentro de um polígono, em física para determinar o centro de gravidade ou em estatísticas e probabilidade para calcular uma expectativa. Nós o calculamos da seguinte maneira:

{\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {w_ {i} \ cdot x_ {i}}} {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {w_ {i}}}}

No caso geral, o peso $w i$ representa a influência do elemento $x i$ em relação aos demais.

Observe que esta é a média aritmética ponderada. Existem também versões ponderadas de outras médias, como a média geométrica ponderada e a média harmônica ponderada .

Valor médio de uma função

Para qualquer função contínua $f$ em um segmento $[$ $a$ $,$ $b$ $] que$ não $é$ degenerado ( ou seja, $b$ $>$ $a$ ) ou mais geralmente integrável em $]$ $a$ $,$ $b$ $[$ , o valor médio de $f$ em $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ é o real definido por :

m = {\ frac {1} {ba}} \ times \ int _ {{a}} ^ {{b}} f (x) \, dx

A desigualdade da média permite enquadrar esse valor médio pelos limites da função. Se a função é contínua, o teorema da média ainda garante a existência de um real $c] a, b [$ tal que $m = f (c)$ .

Essa noção generaliza a da média de um número finito de reais, aplicando-a a um número infinito de valores assumidos por uma função integrável. É usado, por exemplo, na decomposição em série de Fourier de uma função periódica: é o componente constante. No processamento de sinal, para sinais periódicos, este é o componente DC ( deslocamento ).

Pode-se também, por analogia com as médias ponderadas de um número finito de números reais, atribuir “a cada um dos valores tomados pela função” um coeficiente estritamente positivo. Em seguida, usamos o que chamamos de função de peso

w: \, {\ mathbb R} \ longrightarrow {\ mathbb R} ^ {{+ *}}

( w para a inicial de peso , "peso" em inglês):

m_ {w} = {\ frac {\ int _ {{a}} ^ {{b}} f (x) \ cdot w (x) \, dx} {\ int _ {{a}} ^ {{b }} w (x) \, dx}}

Este processo também pode ser usado em um intervalo aberto ou semiaberto, mas limitado ( ou seja, nenhum de seus limites é infinito), onde a função ƒ × w é integrável. Podemos citar o exemplo clássico que serve para mostrar a ortogonalidade da família dos polinômios de Chebyshev :

{2 \ over \ pi} \, \ int _ {{[0,1 [}} {T_ {n} (x) \ cdot T_ {p} (x) \ over {\ sqrt {1-x ^ {2 }}}} \, dx

onde a função T n × T p é contínua sobre o fechado [0,1] e onde a função de peso é

w: \, {\ mathbb R} \ longrightarrow {\ mathbb R} ^ {{+ *}}, \; x \ mapsto {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}

é integrável sobre [0,1 [, e cuja integral é . ${\ pi \ over 2}$

Nota: Quando a função é periódica com período T , ela tem o mesmo valor médio em qualquer período [ a , a + T ]. Esse valor comum é chamado de valor médio da função. Assim, a função cosseno tem média zero, seu quadrado tem média 1/2.

Notas e referências

(fr) Fabrice Mazerolle, " Média Aritmética " ,2012(acessado em 13 de fevereiro de 2012 )
Stella Baruk, "Average", Dictionary of Elementary Mathematics , Éditions du Seuil, 1995.

Veja também

Bibliografia

Charles Antoine, Les Moyennes , Paris: PUF , col. O que eu sei? ( N o 3383), 1998.
Charles Antoine, "Média de acordo com uma lei de composição" em Matemática e Ciências Humanas (EHESS)