Média quase aritmética

Em matemática e estatística , a média quase aritmética , tendo a média de Kolmogorov ou f generalizado -moyennes são uma generalização de médias, digamos generalizadas (elas mesmas uma generalização de padrão médio : aritmética , geometria ,  etc. ). Eles são parametrizados por uma função f .

Definição

Let Ser uma função de um intervalo em números reais , contínuos e injetivos . f{\ displaystyle f}eu⊂R{\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}

A -média dos números é definida como , que também pode ser escrita f{\ displaystyle f}não{\ displaystyle n} x1,...,xnão∈eu{\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n} \ in I}Mf(x1,...,xnão)=f-1(f(x1)+⋯+f(xnão)não){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {f (x_ {1}) + \ cdots + f (x_ { n})} {n}} \ direita)}

Mf(x→)=f-1(1não∑k=1nãof(xk)){\ displaystyle M_ {f} ({\ vec {x}}) = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} f ( x_ {k}) \ right)}

É necessário que seja injetivo para que seu inverso seja definido. Como é definido em um intervalo, pertence ao domínio de definição de . f{\ displaystyle f}f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}f{\ displaystyle f}f(x1)+⋯+f(xnão)não{\ displaystyle {\ frac {f (x_ {1}) + \ cdots + f (x_ {n})} {n}}}f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}

Como é injetivo e contínuo, é, portanto, estritamente monotônico , de onde se segue que a -média está sempre entre o mínimo e o máximo dos números em argumento: f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}

min(x1,...,xnão)≤Mf(x1,...,xnão)≤max(x1,...,xnão){\ displaystyle \ min (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ leq M_ {f} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ leq \ max (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}

Exemplos

(Nos exemplos a seguir, ou ) eu=R{\ displaystyle I = \ mathbb {R}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}

• Pois , então a -média corresponde à média aritmética seja qual for e (veja a propriedade de invariância de escala infra ).f(x)=no⋅x+b{\ displaystyle f (x) = a \ cdot x + b}f{\ displaystyle f}no≠0{\ displaystyle a \ neq 0}b{\ displaystyle b}
• Pois , então, a -média corresponde à média geométrica qualquer que seja a base do logaritmo, uma vez que é positivo e diferente de 1.f(x)=em⁡(x){\ displaystyle f (x) = \ ln (x)}f{\ displaystyle f}
• Pois , então a -média corresponde à média harmônica .f(x)=1x{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}f{\ displaystyle f}
• Pois , então a -média corresponde à média generalizada do expoente .f(x)=xp{\ displaystyle f (x) = x ^ {p}}f{\ displaystyle f}p{\ displaystyle p}
• Para , em seguida, o -Média é média no meio-anel logarítmica (em) , que é uma versão deslocada de uma constante da função softmax : . O corresponde a uma divisão por .f(x)=exp⁡(x){\ displaystyle f (x) = \ exp (x)}f{\ displaystyle f} Mf(x1,...,xnão)=softmnox(x1,...,xnão)-em⁡(não){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ mathrm {softmax} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) - \ ln (n)}-em⁡(não){\ displaystyle - \ ln (n)}não{\ displaystyle n}

Propriedades

As propriedades a seguir são verdadeiras para qualquer função que satisfaça a definição acima: f{\ displaystyle f}

Simetria: O valor de é invariante pela permutação de seus argumentos. Mf{\ displaystyle M_ {f}}

Ponto fixo . ∀x∈eu,Mf(x,...,x)=x{\ displaystyle \ forall x \ in I, M_ {f} (x, \ dots, x) = x}

Monotonicidade: é monotônico em cada um de seus argumentos (já que é monotônico). Mf{\ displaystyle M_ {f}}f{\ displaystyle f}

Continuidade: é contínua em cada um de seus argumentos (pois é contínua). Mf{\ displaystyle M_ {f}}f{\ displaystyle f}

Substituição: Qualquer subconjunto de argumentos pode ser substituído por seu -Médio repetido vezes, sem alterar o resultado do -Médio. Se escrevermos , temos: k{\ displaystyle k}f{\ displaystyle f}k{\ displaystyle k}f{\ displaystyle f}m=Mf(x1,...,xk){\ displaystyle m = M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {k})}

Mf(x1,...,xk,xk+1,...,xnão)=Mf(m,...,m⏟k Tempo,xk+1,...,xnão){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {k}, x_ {k + 1}, \ dots, x_ {n}) = M_ {f} (\ underbrace {m, \ dots, m} _ {k {\ text {vezes}}}, x_ {k + 1}, \ pontos, x_ {n})}

Particionamento  : O cálculo da-média pode ser separado em vários cálculos de subconjuntos do mesmo tamanho: f{\ displaystyle f}

Mf(x1,...,xnão⋅k)=Mf(Mf(x1,...,xk),Mf(xk+1,...,x2⋅k),...,Mf(x(não-1)⋅k+1,...,xnão⋅k)){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n \ cdot k}) = M_ {f} (M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {k}), M_ {f} (x_ {k + 1}, \ dots, x_ {2 \ cdot k}), \ dots, M_ {f} (x _ {(n-1) \ cdot k + 1}, \ dots, x_ {n \ cdot k}))}

Autodistributivo: Para qualquer média de Kolmogorov de dois argumentos, temos: M{\ displaystyle M}

M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z)){\ displaystyle M (x, M (y, z)) = M (M (x, y), M (x, z))}.

Medialidade: Para qualquer média de Kolmogorov de dois argumentos, temos: M{\ displaystyle M}

M(M(x,y),M(z,C))=M(M(x,z),M(y,C)){\ displaystyle M (M (x, y), M (z, w)) = M (M (x, z), M (y, w))}.

Equilíbrio: Para qualquer média de Kolmogorov de dois argumentos, temos: M{\ displaystyle M}

M(M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)))=M(x,y){\ displaystyle M \ left (M (x, M (x, y)), M (y, M (x, y)) \ right) = M (x, y)}.

Teorema do limite central  : Sob condições de regularidade e para uma amostra suficientemente grande,segue aproximadamente uma distribuição normal . não{Mf(X1,...,Xnão)-f-1(Mf(X1,...,Xnão))}{\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ {M_ {f} (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) - f ^ {- 1} (M_ {f} (X_ {1}, \ dots , X_ {n})) \}}

Invariância de escala: A média de Kolmogorov é invariante por translação e dilatação da função : f{\ displaystyle f}

∀no, ∀b≠0,((∀t, g(t)=no+b⋅f(t))⇒∀x; Mf(x)=Mg(x){\ displaystyle \ forall a, \ \ forall b \ neq 0, ((\ forall t, \ g (t) = a + b \ cdot f (t)) \ Rightarrow \ forall x; \ M_ {f} (x ) = M_ {g} (x)}.

Caracterização

Existem vários conjuntos de propriedades que caracterizam a média de Kolmogorov (ou seja, para qualquer função que satisfaça essas propriedades, existe uma função tal que . M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}f{\ displaystyle f}M=Mf{\ displaystyle {\ mathcal {M}} = M_ {f}}

• A medialidade é essencialmente suficiente para caracterizar um Kolmogorov médio.
• A autodistribuição é essencialmente suficiente para caracterizar uma média de Kolmogorov.
• Kolmogorov demonstrou que as cinco propriedades de simetria, ponto fixo, monotonicidade, continuidade e substituição caracterizam completamente um -médio.f{\ displaystyle f}
• Balanceamento : Uma questão interessante é se esta propriedade pode substituir a de substituição no conjunto de Kolmogorov, ou seja, se as cinco propriedades de simetria, ponto fixo, monotonicidade, continuidade e balanceamento são suficientes para caracterizar uma média de Kolmogorov. Georg Aumann  (in) demonstrou em 1930 que a resposta geralmente é não, mas basta adicionar a suposição de que seja analítico para que seja o caso.M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}

Homogeneidade

As médias geralmente são homogêneas , mas para quase todas as funções , a média não é. Na verdade, os únicos meios de Kolmogorov homogêneos são os meios generalizados. Veja Hardy - Littlewood - Pólya, página 68. f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}

A propriedade de homogeneidade pode, entretanto, ser obtida normalizando os argumentos por uma média (homogênea) . VS{\ displaystyle C}

Mf,VSx=VSx⋅f-1(f(x1VSx)+⋯+f(xnãoVSx)não){\ displaystyle M_ {f, C} x = Cx \ cdot f ^ {- 1} \ left ({\ frac {f \ left ({\ frac {x_ {1}} {Cx}} \ right) + \ cdots + f \ left ({\ frac {x_ {n}} {Cx}} \ right)} {n}} \ right)}

No entanto, essa modificação pode violar as propriedades de monotonicidade e particionamento.

Referências

• (fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado “  Quasi-arithmetic mean  ” ( ver a lista de autores ) .

1. Miguel de Carvalho , “  Quer dizer, o que você quer dizer?  ”, The American Statistician , vol.  70, n o  3,2016, p.  764‒776 ( DOI  10.1080 / 00031305.2016.1148632 , ler online )
2. Aczél, J.; Dhombres, JG , Equações funcionais em várias variáveis. Com aplicações em matemática, teoria da informação e nas ciências naturais e sociais. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. , Cambridge, Cambridge Univ. Aperte,1989
3. Anton Grudkin , "  Caracterização da média quase aritmética  " , no Math stackexchange ,2019
4. Georg Aumann , "  Vollkommene Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften  ", Journal für die Reine und angewandte Mathematik , vol.  1937, n o  176,1937, p.  49-55 ( DOI  10.1515 / crll.1937.176.49 )
5. Georg Aumann , "  Grundlegung der Theorie der analytischen Analytische Mittelwerte  ", Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften ,1934, p.  45-81

Veja também

Bibliografia

• Andrey Kolmogorov (1930) “On the Notion of Mean”, em “Mathematics and Mechanics” (Kluwer 1991) - pp. 144–146.
• Andrey Kolmogorov (1930) Sobre a noção de média. Atti Accad. Naz. Lincei 12, pp. 388–391.
• John Bibby (1974) “Axiomatizações da média e uma nova generalização das sequências monotônicas”, Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65.
• Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952) Desigualdades. 2ª ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.

Artigos relacionados

• Média generalizada
• Desigualdade de Jensen

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