O axioma de antifundação (em inglês, axioma antifundação ou AFA ) é um axioma alternativo ao axioma fundador da teoria dos conjuntos, que permite cadeias infinitas até a relação de pertinência dos conjuntos. Permite, por exemplo, que um conjunto pertença a si mesmo ou que dois conjuntos distintos pertençam um ao outro. Proposto por Marco Forti e Furio Honsell em 1983, foi popularizado pelo livro Non-Well-Founded Sets de Peter Aczel (en) , publicado em 1988.
É um axioma que propõe uma extensão da ontologia de conjuntos. De fato, em um universo da teoria ZF (sem axioma fundador) é sempre possível definir uma parte dele, o universo de von Neumann , que satisfaz todos os axiomas de ZF e o axioma fundador, esses são os conjuntos bem fundamentados. O axioma anti-fundação tem como consequência que o universo de von Neumann não é o universo inteiro: existem conjuntos infundados (às vezes chamados de hiperconjuntos). Essa visão foi antecipada pelo matemático Dmitry Mirimanoff .
Os axiomas de ZFC - exceto extensionalidade e fundação - afirmam a existência de novos conjuntos, a partir de conjuntos existentes; pode-se considerar que eles fornecem métodos de "construção" desses conjuntos (exceto o axioma da escolha que é uma simples afirmação de existência).
O axioma de base limita a ontologia de conjuntos a conjuntos bem fundamentados, é equivalente a qualquer conjunto pertencente à hierarquia cumulativa de von Neumann, construída sobre o conjunto vazio por iteração do conjunto de partes e por união. Os conjuntos de matemática usual, e mais geralmente todos aqueles construídos a partir do conjunto vazio pela iteração das regras para conjuntos de geração descritos pelos outros axiomas, pertencem à hierarquia de von Neumann. Qualquer universo que satisfaça os axiomas da teoria ZFC sem um axioma fundador, portanto, contém um universo, o universo de von Neumann que, fornecido com a relação de pertencimento restrita a ele, satisfaz os axiomas de ZFC e o axioma de fundação, e os conjuntos usuais viver neste universo. Uma consequência é, além disso, que se a teoria ZFC sem um axioma de fundação é consistente, a teoria de ZFC com um axioma de fundação é consistente.
Mas também mostramos que se a teoria ZFC é consistente, então a teoria ZFC sem um axioma de base, mas com a negação deste axioma é consistente (estes dois últimos resultados estabelecem a independência do axioma de base em relação aos outros axiomas de ZFC).
Assim, a limitação da ontologia de conjuntos proposta pelo axioma fundador pode ser modificada; o que significa o axioma da antifundação, que sem ser uma simples negação do axioma da fundação, propõe outro limite ao que se considera um conjunto.
Na teoria dos conjuntos ZF , de acordo com o lema da contração de Mostowski , para qualquer conjunto E dotado de uma relação bem fundada R ( R é definido como um conjunto de pares de elementos de E ), existe uma função única π definida em E e que satisfaz para tudo a de E
π ( a ) = {π ( x ) | x R a }por definição recursiva sobre o bem-fundado relação R . Seja F o conjunto de imagens de E por π, então π define um morfismo de ( E , R ) em ( F , ∈) ( x R y se e somente se π ( x ) ∈ π ( y )), F é o Colapso de Mostowski de ( E , R ).
A afirmação do axioma anti-fundação é uma generalização direta do lema de Mostowski para qualquer relação, ou gráfico, que não seja necessariamente bem fundado.
Um grafo G pode ser visto como o grafo de uma relação R (definida pelo conjunto de pares que constituem as arestas do grafo) em um conjunto E (o conjunto de nós do grafo).
Uma decoração em um gráfico G é uma função π definida em E tal que, para cada nó a de E :
π ( a ) = {π ( x ) | x R a }.Uma decoração é geralmente não injetiva, pois, por exemplo, associa a qualquer nó sem antecedente o conjunto vazio.
O axioma anti-fundação (AFA) é então:
Axioma de anti-fundação. - Cada gráfico possui uma e apenas uma decoração.
Ao escolher uma relação R que não é bem fundada, pode-se obter pela decoração um conjunto que não é bem fundado, como mostram os exemplos na próxima seção, ou seja, AFA contradiz o axioma da fundação.
AFA afirma que cada nó do gráfico representa, portanto, um e apenas um conjunto. Por outro lado, mas é um teorema, qualquer conjunto (clássico ou infundado) é representável por tal gráfico, em geral não único (pode haver uma infinidade deles).
A decoração π define um morfismo de ( E , R ) no conjunto de imagens de π fornecido com a relação de pertinência, mas, como já foi dito acima, esse morfismo pode não ser injetivo. Dois nós que têm os mesmos antecedentes por R são identificados por π, e por causa dessas identificações, podem haver outros casos.
Ao aplicar o axioma AFA ao gráfico com apenas um ponto e onde a seta que parte dele aponta para ele, formamos o conjunto Ω que verifica
.Além disso, AFA afirma que apenas um conjunto satisfaz esta equação.
Dois conjuntos mutuamente pertencentes a e b correspondem simplesmente a 2 pontos apontando um para o outro.
(pt) Lawrence S. Moss, " Non-wellfounded set theory " , na Stanford Encyclopedia of Philosophy ,2008
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