Na teoria dos conjuntos, o lema de contração Mostowski devido a Andrzej Mostowski combina um todo com uma relação bem fundada conjunto transitivo único , de modo que se um for fornecido com a associação, este aplicativo é um morfismo . Se, além disso, a relação bem fundada no conjunto inicial é extensional , o mapa é um isomorfismo . O conjunto de imagens é denominado contraído, ou colapso de Mostowski do conjunto dotado de relação fundada.
O lema é generalizado para classes , desde que os antecedentes de um elemento da classe pela relação bem fundamentada considerada - sendo esta relação ela própria uma classe - formem um conjunto.
Ele intervém para a construção de modelos de teoria dos conjuntos, por exemplo no caso do forçamento .
Seja A um conjunto e R uma relação bem fundada neste conjunto. Então existe uma e apenas uma função φ verificação
φ ( x ) = {φ ( y ) | y ∈ A e y R x }.Esta relação torna possível definir φ por indução no bem fundamentada relativamente R .
A função φ é a função de contração ( (en) função de colapso ) do conjunto ( A , R ). Seu conjunto de imagens T é o colapso contraído ou de Mostowski de ( A , R ). A função φ é um morfismo de ( A , R ) em ( T , ∈): a relação que permite que a defini-lo por indução diz exactamente para que x ∈ A e y ∈ Um
φ ( y ) ∈ φ ( x ) se e somente se y R x .Este conjunto é transitivo por construção.
A função φ é sobrejetiva em T, mas não pode ser injetiva: dois elementos de A que têm os mesmos antecedentes de R são identificados por φ (é um colapso extensional).
Um caso particular interessante é aquele em que a relação R é extensional sobre A, ou seja, ( A , R ) satisfaz o axioma da extensionalidade , que está escrito
∀ x ∈ A ∀ y ∈ A [∀ z ∈ A ( z R x ⇔ z R y ) ⇒ x = y ].Por exemplo, a relação de ordem estrita de um conjunto totalmente ordenado é extensional.
Se a relação R é extensional, a função φ é um isomorfismo de ( A , R ) em ( I , ∈).
Na verdade φ já é um morfismo sobrejetivo em T , e mostramos por indução na relação bem fundada R , que para todo x ∈ A
∀ y ∈ A (φ ( x ) = φ ( y ) ⇒ x = y ).A propriedade é considerada verdadeira para todos os R- antecedentes de x . Se φ ( x ) = φ ( y ), é porque x e y têm os mesmos antecedentes R (definições de φ ( x ) e φ ( y )), e, portanto, que eles são iguais por extensionalidade. O morfismo φ é, portanto, injetivo, logo, bijetivo.
Resumindo.
Lema de Mostowski (caso de conjunto) .- Se ( A , R ) é um conjunto dotado de uma relação bem fundada R , então existe um único conjunto transitivo T e uma função única φ tal que φ é um morfismo sobrejetivo de ( A , R ) em ( T , ∈). Se, além disso, R é extensional em A , φ é um isomorfismo.
Por exemplo, para { a , b }, com a ordem estrita definida por a < b , φ ( a ) = ∅, φ ( b ) = {φ ( a )} = {∅}, o colapso de Mostowski de ({ a , b }, <) é {∅, {∅}}, ou seja, o ordinal 2.
De forma mais geral, se ( A , <) for uma boa ordem estrita, a ordem associada é total, o colapso de Mostowski é o único ordinal isomórfico dessa ordem boa.
O lema da contração de Mostowski é demonstrado na teoria dos conjuntos Zermelo-Fraenkel ZF sem um axioma de fundação . O axioma do conjunto de poder não é mais necessário.
Na presença do axioma da fundação , o lema de Mostowski se aplica a um conjunto A dotado de associação. Se a relação de pertinência é extensional sobre A , seja ( A , ∈) satisfazer o axioma da extensionalidade, dizemos que A é extensional .
O conjunto A é extensional quando ∀ x ∈ A ∀ y ∈ A [( x ∩ A = y ∩ A ) ⇒ x = y ].Neste caso particular, o lema de Mostowski torna-se
Um conjunto extensional é isomórfico a um único conjunto transitivo, por um isomorfismo único.O lema se generaliza para classes , mas devemos então supor que a “relação” R , que então também é uma classe, tem a propriedade de que, para qualquer elemento x de A , a classe de R- antecedentes de x é um conjunto. A “função” φ é então uma classe funcional. Esta condição é útil para provar o teorema de definição por indução na classe relacional R , neste caso para provar a existência da classe funcional φ.