B-spline

Em matemática , um B-spline é uma combinação linear de splines positivas com suporte compacto mínimo. B-splines são a generalização das curvas de Bézier , elas podem, por sua vez, ser generalizadas pelo NURBS .

Definição

Dados m +1 nós t i em [0, 1] com $0 \ leq t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ ldots \ leq t_ {m} \ leq 1$ uma curva de grau spline é uma curva paramétrica $não$ ${\ mathbf {S}} \ ,: \, [0,1] \ a {\ mathbb {R}} ^ {d}$ composto por funções B-spline de grau n ${\ displaystyle \ mathbf {S} (t) = \ sum _ {i = 0} ^ {mn-1} b_ {i, n} (t). \ mathbf {P} _ {i} \ ,, \, t \ em [t_ {n}, t_ {mn}]}$ , onde o P i forma um polígono denominado polígono de controle ; o número de pontos que compõem este polígono é igual am - n .

As funções m - n B-spline de grau n são definidas por indução no grau inferior: $b _ {{j, 0}} (t): = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mathrm {si}} \ quad t_ {j} \ leqslant t <t _ {{j + 1 }} \ \ 0 & {\ mathrm {caso contrário}} \ end {matriz}} \ right.$ $b _ {{j, n}} (t): = {\ frac {t-t_ {j}} {t _ {{j + n}} - t_ {j}}} b _ {{j, n- 1}} (t) + {\ frac {t _ {{j + n + 1}} - t} {t _ {{j + n + 1}} - t _ {{j + 1}}}} b _ {{j + 1, n-1}} (t).$

Quando os nós são equidistantes, ou seja, quando estão em progressão aritmética, as B-splines são ditas "uniformes": é o caso das curvas de Bézier que são B-splines uniformes, cujos nós t i (para i entre 0 e m ) formam uma sequência aritmética de 0 a 1 com um passo constante 1 / m , e onde o grau n da curva de Bézier não pode ser maior que m .

Por extensão, quando dois nós sucessivos e se fundem, um posa : isto tem o efeito de definir uma descontinuidade da tangente, para o ponto da curva parametrizado por um valor de t , portanto, criar ali um prato de vértice não angular; no entanto, muitas vezes é mais simples definir este "B-spline estendido" como a união de dois B-splines definidos com nós distintos, esses splines sendo simplesmente unidos por este vértice comum, sem introduzir qualquer dificuldade na avaliação paramétrica aqui. B-splines para certos valores do parâmetro t . Mas isso torna possível considerar qualquer polígono simples como um B-spline estendido. $t_j$ $t _ {{j + 1}}$ ${\ frac {0} {0}} = 0$

Propriedades

A forma das funções básicas é determinada pela posição dos nós.

A curva está dentro do envelope convexo dos pontos de controle.

Uma B-spline de grau n $b _ {{i, n}} (t)$ é diferente de zero no intervalo [ t i , t i + n + 1 ]: $b _ {{i, n}} (t) = \ left \ {{\ begin {matrix}> 0 & {\ mathrm {si}} \ quad t _ {{i}} \ leqslant t <t _ {{ i + n + 1}} \\ 0 & {\ mathrm {caso contrário}} \ end {matriz}} \ right.$

Em outras palavras, mover um ponto de controle apenas localmente altera a forma da curva.

B-splines em uma dimensão

B-splines podem ser usados como funções básicas na teoria de aproximação. O B-spline de grau n é dado por: ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ beta ^ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k} {\ frac {(n + 1)} {(n + 1-k)! k!}} \ left (xk + {\ frac {n + 1} {2}} \ right) _ {+} ^ {n}}$ , onde (y) + é uma versão estendida da função da parte positiva : $(x) _ {+} ^ {n} = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x <0 \\ {\ tfrac 12} & {\ text {si}} x = 0 {\ text {et}} n = 0 \\ 1 & {\ text {si}} x> 0 {\ text {et}} n = 0 \\ x ^ {n} & {\ text {si}} x \ geqslant 0 {\ text {e}} n \ geqslant 1 \ end {casos}}$

Reconhecemos em particular o spline de grau 0 como a função de porta .

Essas funções não são interpoladas, mas sua alta regularidade em um meio compacto as torna candidatas interessantes na aproximação de funções.

Referências

(em) P. Thevenaz, Blu T. e M. Unser, " interpolation revisited " , IEEE Transactions on Medical Imaging , Vol. 19, n o 7,julho de 2000( DOI 10.1109 / 42.875199 )

Links internos

links externos

(pt) Splines: Uma estrutura unificadora para processamento de imagem (tutorial sobre B-splines)