BM 13901 | |
Modelo | bloco de argila |
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Dimensões | 12 cm × 20 cm |
Material | argila |
Método de fabricação | argila gravada com escrita cuneiforme |
Função | manual de resolução de problemas matemáticos |
Período | XVIII º século aC. J.-C. |
Cultura | Mesopotâmia |
Lugar de descoberta | desconhecido (no Iraque ) |
Conservação | Museu Britânico |
Ficha informativa | [1] |
A argila tablet babilônico n o 13901 do Museu Britânico , BM 13901 , é um dos textos matemáticos conhecidos mais antigos. Tem cerca de vinte e quatro problemas e suas soluções, escritos em cuneiforme , os números sendo anotados usando o sistema sexagesimal . O número exato de problemas não é certo porque o tablet está danificado em alguns lugares, apenas 21 problemas podem ser reconstruídos com certeza. Provavelmente foi escrito durante o reinado de Hammurabi , no início do XVIII ° século aC. AD .
Os problemas são classificados de acordo com uma progressão pedagógica a ponto de Maurice Caveing qualificar este tablet como "um verdadeiro pequeno manual de álgebra, dedicado à equação quadrática e sistemas de equações, e dando os procedimentos de resolução fundamentais" . Cada problema é formulado na primeira pessoa e seguido de um procedimento a seguir com base nos dados do enunciado, redigido na segunda pessoa. Os problemas apresentados na tabuinha dão um panorama exaustivo do que hoje se chamaria “ problemas de segundo grau ” com uma ou duas incógnitas, com as limitações do conhecimento matemático da época.
De acordo com a tradição mesopotâmica, o número desconhecido procurado é chamado de lado da praça , e o quadrado deste número de área da praça . Mas esta interpretação geométrica é demolida: o escriba não hesita em adicionar um lado a uma área desafiando a homogeneidade dos tamanhos, o que levou alguns historiadores da matemática a falar de álgebra e equações mesopotâmicas , e a considerar que os babilônios manipulam " números abstratos "e não simplesmente magnitudes como seus contemporâneos egípcios ou seus sucessores gregos. No entanto, pesquisas mais recentes mostram que esses cálculos aparentemente abstratos podem ser interpretados usando manipulações geométricas .
BM 13901 é uma placa retangular de argila, com aproximadamente 12 cm de largura por 20 cm de comprimento.
Foi transcrito, traduzido para o francês e analisado em 1936 por François Thureau-Dangin , depois em 1937 por Otto Neugebauer , com tradução para o alemão. Neugebauer mostra o domínio da álgebra pelos Paleo-Babilônios. A visão de Neugebauer há muito detém autoridade, sem ser questionada.
Maurice Caveing (1994) mostrou a progressão pedagógica dos problemas desta tabuinha, qualificando-a como um “manual de cálculo quadrático na época de Hammurapi” . Jens Høyrup propôs uma nova tradução, usando um vocabulário mais concreto e geométrico, baseado no compartilhamento e colagem de figuras. Esta nova tradução é acompanhada por uma nova interpretação, também mais geométrica e concreta, dos métodos de resolução.
O primeiro problema e sua solução ocupam as primeiras quatro linhas do tablet. É assim traduzido por Thureau-Dangin:
Eu adicionei a área e (o lado) do meu quadrado: 45 '.Em seguida, por Neugebauer:
A área e o (lado do) quadrado que adicionei e é 0; 45.E finalmente por Høyrup:
A superfície e o meu confronto que acumulei: 45.Se denotarmos x o lado do quadrado, o problema a ser resolvido pode ser traduzido, na álgebra moderna, pela equação x 2 + x = 3/4.
Os problemas são os seguintes (para facilitar a leitura, eles são traduzidos em linguagem algébrica atual, as incógnitas sendo denotado pelas letras x e y ). Nestes textos, “o quadrado” sempre significa o lado do quadrado, que denotaremos por x . Na mesma ideia, x 2 irá traduzir a área do quadrado. Deve-se notar que, no sistema sexagesimal babilônico, 20 e 1/3 são anotados da mesma forma, assim como 45 e 3/4 e, mais geralmente, qualquer número a é anotado como a × 60 e a / 60.
Os primeiros sete problemas correspondem a equações que hoje seriam notadas na forma ax 2 + bx = c , os parâmetros b e c sendo frações positivas, a podendo ser negativa - neste último caso, os babilônios falam de subtração , a negativa números desconhecidos por eles. Os métodos de resolução diferentes de acordo com os valores de um e b e se a solução “cai bem” ou não. Todas as possibilidades são cobertas por esses sete problemas.
Problema 1"Adicionei a área e o meu quadrado: 45."
Equação correspondente: x + x 2 = 45.
Problema 3"Eu subtraí um terço da área, depois adicionei um terço do quadrado: 20."
Equação correspondente: x 2 - 1/3 x 2 + 1/3 x = 20.
Problema 5"Eu adicionei a área e meu quadrado e um terço do meu quadrado: 55."
Equação correspondente: x 2 + x + 1/3 x = 55.
Problema 6"Eu adicionei a área e dois terços do meu quadrado: 35."
Equação correspondente: x 2 + 2/3 x = 35.
Os problemas 8 a 14 tratam de problemas envolvendo duas incógnitas. A cada vez, a primeira parte do problema consiste em somar dois quadrados (equação da forma x 2 + y 2 = c ), as variantes relativas à segunda parte do problema.
Problema 8Esta parte está danificada. Diz:
“Eu adicionei a área dos meus dois quadrados: 21,40. "
Mas o resto é difícil de ler. Com base nos seguintes problemas e considerando que a tabuinha dá uma visão geral de todos os tipos de possíveis problemas resolvidos pelos mesopotâmicos, sem repetir o mesmo problema, os historiadores propõem uma frase semelhante a:
"Eu adicionei meus quadrados: 50."
Isso significa dar a equação x + y = 50.