Em matemática , um caso degenerado pode consistir em um objeto cuja definição revela elementos redundantes ou supérfluos, às vezes reduzindo-se a uma definição mais simples. Também pode ser visto como um caso particular de uma construção geral, não satisfazendo uma determinada propriedade genérica, em particular se esses casos forem raros no sentido topológico ou na teoria da medição .
A degeneração muitas vezes resulta no aparecimento de valores zero ou infinitos nas representações analíticas dos objetos tratados, o que pode levar a situações de indeterminação (por exemplo, o círculo é uma elipse degenerada para a qual é impossível determinar a direção de sua eixo principal).
Por exemplo, um segmento é degenerado quando suas extremidades são iguais; é então reduzido a um ponto e não tem mais uma bissetriz perpendicular . Por extensão, um triângulo é degenerado se seus três vértices estiverem alinhados , o que não permite mais definir um ortocentro ou um círculo circunscrito . Um polígono ou uma linha poligonal é considerada degenerada quando dois vértices (ou mais) são confundidos.
No espaço euclidiano R n , diz-se que um bloco I 1 ×… × I n é degenerado se pelo menos um dos segmentos I k for degenerado .
Da mesma forma, diz-se que um círculo degenera quando seu raio é zero, reduzindo assim ao seu centro. Então, ele não terá mais uma linha tangente em sua borda.
As curvas de solução de uma equação quadrática no plano também podem definir cônicas próprias (elipse, parábola ou hipérbole) ou cônicas degeneradas como o círculo (às vezes assimilado a uma cônica de excentricidade zero), uma linha, a união de duas secantes ou paralelas linhas, mesmo um ponto isolado ou o conjunto vazio.
Um sistema de equações lineares é degenerado quando uma das equações sem um segundo membro é linearmente dependente das outras. Quando há tantas incógnitas quanto há equações, o sistema é degenerado se e somente se o determinante da matriz associada for zero, ou seja, não constitui um sistema de Cramer . O conjunto de soluções fica vazio ou contém pelo menos uma linha.
Da mesma forma, uma forma bilinear é degenerada se existe um vetor diferente de zero cujo ortogonal (à esquerda ou à direita) é todo o espaço. Se o espaço for de dimensão finita, a forma é degenerada se sua matriz representativa for de determinante zero. Para uma forma bilinear simétrica degenerada, o conjunto de vetores cujo ortogonal não é o espaço inteiro constitui um subespaço estrito no qual a forma não é degenerada.
Diz-se que um valor próprio é degenerado quando admite pelo menos duas linhas de vetores próprios.
Uma matriz degenerada é uma matriz quadrada real da qual um dos menores principais é zero.
para outros exemplos. Um conjunto contendo um único ponto é um continuum (en) degenerado .