Cohomologia cíclica

Em matemática , a cohomologia cíclica de uma ℂ- álgebra (não necessariamente comutativa), que denotamos , é a cohomologia do complexo onde $NO$ $HC ^ {*} (A)$ $(C _ {\ lambda} ^ {n}, b)$

$C _ {\ lambda} ^ {n}$ é o espaço de $n$ $1 +$ -linear formas que satisfazem a condição ciclicidade : $\ phi$ $\ phi (a_ {0}, a_ {1}, \ cdots, a_ {n}) = (- 1) ^ {n} \ phi (a_ {1}, \ cdots, a_ {n}, a_ {0} )$
o operador é o operador Hochschild cobord que é dado por: $b: C _ {\ lambda} ^ {n} \ para C _ {\ lambda} ^ {{n + 1}}$ ${\ begin {alinhados} (b \ phi) (a ^ {0}, \ cdots, a ^ {n}, a ^ {{n + 1}}) = & \ sum _ {{j = 0}} ^ {n} (- 1) ^ {j} \ phi (a ^ {0}, \ cdots, a ^ {j} a ^ {{j + 1}}, \ cdots, a ^ {{n + 1}} ) \\ & + (- 1) ^ {{n + 1}} \ phi (a ^ {{n + 1}} a ^ {0}, \ cdots, a ^ {n}). \ End {alinhado} }$

Caixa de pequenos graus

Um 0- cociclo nada mais é do que um traço . Na verdade, a condição de ciclicidade é automaticamente verificada e uma forma linear em é um cociclo se e somente se $NO$

(b \ phi) (a_ {0}, a_ {1}) = \ phi (a_ {0} a_ {1}) - \ phi (a_ {1} a_ {0}) = 0

Consequentemente, a cohomologia Hochschild e a cohomologia cíclica são iguais em grau 0.

Emparelhamentos

Cociclos cíclicos têm a propriedade de emparelhar com os elementos da K-teoria . Mais precisamente, existe uma aplicação que, partindo de um cociclo cíclico e um elemento da teoria K com a mesma paridade, associa a eles um número complexo. Este aplicativo é

bem definido (o número complexo depende apenas das classes em cohomologia cíclica e teoria K, e não dos representantes escolhidos)
linear no cociclo
e aditivo no elemento da teoria K.

Finalmente, esse par é dado por uma fórmula completamente explícita e calculável.

Referências

(en) Alain Connes , Noncommutative Geometry , Academic Press, 1994
(pt) Jean-Louis Loday , Cyclic Homology , Springer , col. “ Grund. der math. Wiss. "( N O 301),1998, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1992)