Homologia Hochschild
A homologia de Hochschild e a cohomologia de Hochschild são teorias homológicas e cohomológicas originalmente definidas para álgebras associativas , mas foram difundidas em categorias mais gerais. Eles foram introduzidos por Gerhard Hochschild em 1945. A cohomologia cíclica desenvolvida por Alain Connes e Jean-Louis Loday é uma generalização deles.
A cohomologia Hochschild classifica a deformação infinitesimal (na) estrutura multiplicativa da álgebra considerada e a homologia geral, visto que a cohomologia Hochschild tem uma estrutura algébrica rica. Seu estudo provou ser importante na teoria das cordas, em particular.
Definição
Complexos Hochschild
A construção original de Hochschild é a seguinte. Seja k um anel , A a k - álgebra associativa e M an A - bimódulo . Se ainda Um é um k - projectiva módulo , então pode-se construir a cadeia de complexos em que os meios n produtos de tensores de uma com si.
VSnão(NO,M)=M⊗NO⊗não{\ displaystyle C_ {n} (A, M) = M \ otimes A ^ {\ otimes n}}NO⊗não{\ displaystyle A ^ {\ otimes n}}
Os operadores de face são os aplicativos definidos por:
∂eu(não):M⊗NO⊗não→M⊗NO⊗não-1{\ displaystyle \ partial _ {i} ^ {(n)}: M \ otimes A ^ {\ otimes n} \ to M \ otimes A ^ {\ otimes n-1}}
- ∂0(não)(m⊗no1⊗⋯⊗nonão)=mno1⊗no2⋯⊗nonão{\ displaystyle \ partial _ {0} ^ {(n)} (m \ otimes a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}) = ma_ {1} \ otimes a_ {2} \ cdots \ otimes a_ {não}}
- ∂eu(não)(m⊗no1⊗⋯⊗nonão)=m⊗no1⊗⋯⊗noeunoeu+1⊗⋯⊗nonão{\ displaystyle \ partial _ {i} ^ {(n)} (m \ otimes a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}) = m \ otimes a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ { i} a_ {i + 1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}}
- ∂não(não)(m⊗no1⊗⋯⊗nonão)=nonãom⊗no1⊗⋯⊗nonão-1{\ displaystyle \ partial _ {n} ^ {(n)} (m \ otimes a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}) = a_ {n} m \ otimes a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n-1}}
Eles induzem em cada grau um operador de borda por:não{\ displaystyle n} ∂(não):VSnão(NO,M)→VSnão-1(NO,M){\ displaystyle \ partial ^ {(n)}: C_ {n} (A, M) \ rightarrow C_ {n-1} (A, M)}∂(não)=∑eu=0não(-1)eu∂eu(não){\ displaystyle \ parcial ^ {(n)} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ parcial _ {i} ^ {(n)}}o operador em todos os graus verificando bem .
∂{\ displaystyle \ parcial}∂2=0{\ displaystyle \ parcial ^ {2} = 0}
As aplicações fazem de cada módulo um objeto simplicial na categoria dos k- módulos, ou seja, um functor onde está a categoria simplicial .
∂eu(não){\ displaystyle \ parcial _ {i} ^ {(n)}}VSnão(NO,M){\ displaystyle C_ {n} (A, M)} Δop→k-Mod{\ displaystyle \ Delta ^ {\ mathrm {op}} \ to k {\ text {-}} \ mathrm {Mod}}Δ{\ displaystyle \ Delta}
A homologia Hochschild é a homologia deste módulo simplicial. Equivalentemente, é a homologia do complexo Hochschild:
Hnão(NO,M)=Ker(∂(não))/eum(∂(não+1)){\ displaystyle H_ {n} (A, M) = \ mathrm {Ker} (\ parcial ^ {(n)}) / \ mathrm {Im} (\ parcial ^ {(n + 1)})}
A cohomologia Hochschild é obtida por uma construção semelhante. É em particular uma álgebra de Gerstenhaber , que motiva a conjectura de Deligne.
No grau zero, temos as seguintes expressões simples:
HH0(NO,M)=M/[NO,M]{\ displaystyle HH_ {0} (A, M) = M / [A, M]} e
HH0(NO,M)={m∈M|nom=mno para tudo no∈NO}{\ displaystyle HH ^ {0} (A, M) = \ {m \ em M \, | \, am = ma {\ text {para todos}} a \ em A \}}
onde [A, M] denota o k -módulo -under M gerada por am - meu para todos os pares de elementos de A e M .
Definição geral
A definição anterior é generalizada observando que a álgebra envolvente de A é o produto tensorial
você=você(NO)=NO⊗NOop{\ displaystyle U = {\ mathcal {U}} (A) = A \ otimes A ^ {\ mathrm {op}}}
Assim, os bimódulos de A se identificam com os módulos da álgebra envolvente, de modo que em particular A e M são -módulos.
você{\ displaystyle U}
O grupo de homologia de Hochschild de ordem n de A com coeficientes em M é dado pelo functor Tor :
HHnão(NO,M)=Torvocênão(NO,M){\ displaystyle HH_ {n} (A, M) = {\ text {Tor}} _ {U} ^ {n} (A, M)}
O grupo de cohomologia de Hochschild de ordem n de A com coeficientes em M é dado pelo functor Ext :
HHnão(NO,M)=Extvocênão(NO,M){\ displaystyle HH ^ {n} (A, M) = {\ text {Ext}} _ {U} ^ {n} (A, M)}
É muito comum considerar o caso M = A , e denotamos então e respectivamente.
HHnão(NO){\ displaystyle HH_ {n} (A)}HHnão(NO){\ displaystyle HH ^ {n} (A)}
Essa definição é naturalmente transferida para a linguagem das categorias . Em particular, para todo n , é um functor da categoria de k -álgebras para a categoria de k- módulos. Essa visão das coisas torna possível generalizar a noção de homologia de Hochschild para objetos que não são k -álgebras: categorias abelianas , álgebra diferencial graduada, espectros de anel e álgebras topológicas (em) em particular.
HHnão{\ displaystyle HH_ {n}}
Homologia de functores
O círculo pode ser visto como um objeto simplicial na categoria End * de conjuntos finitos e pontiagudos. Se F é um functor, então temos um módulo simplicial, compondo F com :
S1{\ displaystyle S ^ {1}}F:Feunão∗→k-Mod{\ displaystyle F: \ mathrm {End} ^ {*} \ to k {\ text {-}} \ mathrm {Mod}}S1{\ displaystyle S ^ {1}}Δop⟶S1Feunão∗⟶Fk-Mod{\ displaystyle \ Delta ^ {\ mathrm {op}} {\ overset {S ^ {1}} {\ longrightarrow}} \ mathrm {End} ^ {*} {\ overset {F} {\ longrightarrow}} k { \ text {-}} \ mathrm {Mod}}
A homologia do módulo simplicial é chamado homologia Hochschild do functor F .
Conjectura de Deligne
Em 1993, Pierre Deligne postulou que para toda a álgebra associativa k , o complexo de Hochschild correspondente a ela é uma álgebra para algum operad "equivalente" ao operad pequenos discos .
S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} '} S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} '}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
A conjectura foi comprovada, de maneiras muito diferentes, em particular por Tamarkin (1998), McClure-Smith (1999, 2001) e Kontsevich - Soibelman (en) (2000). Este é um resultado importante, principalmente no estudo da topologia de strings .
Teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg
Sempre temos o seguinte fato: o módulo das diferenciais de Kähler (en) de uma k- álgebra coincide com seu primeiro grupo de homologia Hochschild. O teorema de Hochschild- Kostant - Rosenberg mostra que essa identificação é transportada para graus mais elevados: se k é um campo e A uma k -álgebra comutativa de apresentação finita, de modo que o módulo A das diferenciais de Kähler é um objeto projetivo, então temos os isomorfismos de A- formou algebras:
Ω∙(NO/k)≃HH∙(NO,NO){\ displaystyle \ Omega ^ {\ bullet} (A / k) \ simeq HH _ {\ bullet} (A, A)}
e
∧k∙Derk(NO,NO)≃HH∙(NO,NO){\ displaystyle \ wedge _ {k} ^ {\ bullet} \ mathrm {Der} _ {k} (A, A) \ simeq HH ^ {\ bullet} (A, A)}
onde ∧ designa o produto externo e Der as derivações .
Artigos relacionados
Referências
- (pt) Henri Cartan e Samuel Eilenberg , Homological Algebra , vol. 19, Princeton University Press , col. "Princeton Mathematical Series",1956, 390 p. ( ISBN 978-0-691-04991-5 , leia online )
-
(pt) Victor Ginzburg (pt) , Lectures on noncomutative geometry , 2005
- (pt) Gerhard Hochschild , “ On the cohomology groups of an associative algebra ” , Ann. Matemática. , 2 nd série, vol. 46,1945, p. 58-67 ( JSTOR 1969145 )
- (pt) Charles Weibel (pt) , An Introduction to Homological Algebra , vol. 38, Cambridge University Press , col. “Cambridge Studies in Advanced Math. ",1995, 450 p. ( ISBN 0-521-55987-1 , leia online )
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