Dolbeault cohomology

Em geometria complexa e geometria diferencial , a cohomologia Dolbeault é uma generalização simplificada das variedades complexas da cohomologia Rham .

Definição do complexo cochaines

Para um pacote vetorial holomórfico sobre uma variedade complexa , as formas diferenciais com valores em são definidas como as seções do pacote . Dentre essas formas diferenciais, distinguem-se aquelas que são localmente a soma do produto externo das formas lineares e anti- lineares , denominadas bidegree . Normalmente denotamos o espaço vetorial complexo de formas diferenciais de dois graus com valores em . Esses espaços são em soma ortogonal e: E{\ displaystyle E}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}E{\ displaystyle E}Λ∗M⊗E{\ displaystyle \ Lambda ^ {*} M \ otimes E}p{\ displaystyle p}q{\ displaystyle q} (p,q){\ displaystyle (p, q)}Ωp,q(M,E){\ displaystyle \ Omega ^ {p, q} (M, E)}(p,q){\ displaystyle (p, q)}E{\ displaystyle E}

Γ(ΛnãoM⊗E)=⨁p+q=nãoΩp,q(M,E){\ displaystyle \ Gamma (\ Lambda ^ {n} M \ otimes E) = \ bigoplus _ {p + q = n} \ Omega ^ {p, q} (M, E)}.

Se o feixe de linhas complexo trivial estiver ativado , nos apressamos em esquecê-lo nas anotações. Em particular : E{\ displaystyle E}M{\ displaystyle M}

Γ(ΛnãoM)=⨁p+q=nãoΩp,q(M){\ displaystyle \ Gamma (\ Lambda ^ {n} M) = \ bigoplus _ {p + q = n} \ Omega ^ {p, q} (M)}.

Para uma forma diferencial de bidegree (p, q), denotamos a parte do grau de de acordo com a decomposição acima. Se for uma seção holomórfica (local) de , defina uma forma diferencial bidegree com valores em e nós definimos: φ{\ displaystyle \ varphi}∂¯φ{\ displaystyle {\ overline {\ partial}} \ varphi}(p,q+1){\ displaystyle (p, q + 1)}dφ¯{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ overline {\ varphi}}}ξ{\ displaystyle \ xi}E{\ displaystyle E}φ⊗ξ{\ displaystyle \ varphi \ otimes \ xi}(p,q){\ displaystyle (p, q)}E{\ displaystyle E}

∂¯(φ⊗ξ)=∂¯φ⊗ξ{\ displaystyle {\ overline {\ partial}} (\ varphi \ otimes \ xi) = {\ overline {\ partial}} \ varphi \ otimes \ xi}.

Como é gerado localmente por suas seções holomórficas, se estende em um operador sur com valores em , chamado de operador de Cauchy-Riemann . A expressão acima só é válida para seções holomórficas de . Portanto, temos flechas: E{\ displaystyle E}∂¯{\ displaystyle {\ overline {\ partial}}}Ωp,q(M,E){\ displaystyle \ Omega ^ {p, q} (M, E)}Ωp,q+1(M,E){\ displaystyle \ Omega ^ {p, q + 1} (M, E)}E{\ displaystyle E}

∂¯:Ωp,q(M,E)→Ωp,q+1(M,E){\ displaystyle {\ overline {\ partial}}: \ Omega ^ {p, q} (M, E) \ rightarrow \ Omega ^ {p, q + 1} (M, E)}.

Como , temos um complexo de cochaines , dos quais o -ésimo grupo de cohomologia é denominado -grupo de Dolbeault  : ∂¯2=0{\ displaystyle {\ overline {\ partial}} ^ {2} = 0}(Ωp,∗(M,E),∂¯){\ displaystyle (\ Omega ^ {p, *} (M, E), {\ overline {\ partial}})}q{\ displaystyle q}(p,q){\ displaystyle (p, q)}

Hp,q(M)=ker⁡(∂¯:Ωp,q→Ωp,q+1)Eu estou⁡(∂¯:Ωp,q-1→Ωp,q){\ displaystyle H ^ {p, q} (M) = {\ frac {\ ker ({\ overline {\ partial}}: \ Omega ^ {p, q} \ rightarrow \ Omega ^ {p, q + 1} )} {\ operatorname {im} ({\ overline {\ partial}}: \ Omega ^ {p, q-1} \ rightarrow \ Omega ^ {p, q})}}}.

Teorema de Dolbeault

O teorema de Rham de afirma que o complexo de De Rham e a cohomologia singular da variedade diferencial real complexa são homotópicas. O teorema de Dolbeault pode ser visto como um análogo complexo.

Teorema de Dolbeault  -  O -ésimo grupo de cohomologia de Dolbeault do feixe holomórfico é canonicamente isomórfico ao -ésimo grupo de cohomologia Čech do feixe de formas holomórficas em valores em  : (p,q){\ displaystyle (p, q)}E{\ displaystyle E}q{\ displaystyle q}p{\ displaystyle p}M{\ displaystyle M}E{\ displaystyle E}

Hp,q(M,E)=Hq(M,Λp,0M⊗E){\ displaystyle H ^ {p, q} (M, E) = H ^ {q} (M, \ Lambda ^ {p, 0} M \ otimes E)} Prova

Na identidade acima, que é um feixe holomórfico ligado , é identificada com o feixe de suas seções holomórficas. Apresentamos o feixe de formas diferenciais bidegree com valores em . O lema de Poincaré para sugerir que a seguinte seqüência é uma seqüência exata de feixes: Λp,0M⊗E{\ displaystyle \ Lambda ^ {p, 0} M \ otimes E}M{\ displaystyle M}ΩEp,q{\ displaystyle \ Omega _ {E} ^ {p, q}}(p,q){\ displaystyle (p, q)}E{\ displaystyle E}

0→Λp,0M⊗E→ΩEp,0→ΩEp,1→⋯→ΩEp,r→...{\ displaystyle 0 \ rightarrow \ Lambda ^ {p, 0} M \ otimes E \ rightarrow \ Omega _ {E} ^ {p, 0} \ rightarrow \ Omega _ {E} ^ {p, 1} \ rightarrow \ dots \ rightarrow \ Omega _ {E} ^ {p, r} \ rightarrow \ dots}.

Precisão significa na situação atual que as sequências correspondentes de espaços de seções globais em aberturas contráteis são sequências exatas de espaços vetoriais. Isso não significa em nenhum caso que a seqüência de espaços das seções globais na variedade é exata. Ao esquecer o primeiro termo, temos um complexo de cochaines:

ΩEp,0(M)=Ωp,0(M,E)→Ωp,1(M,E)→⋯→ΩEp,r=Ωp,r(M,E)→...{\ displaystyle \ Omega _ {E} ^ {p, 0} (M) = \ Omega ^ {p, 0} (M, E) \ rightarrow \ Omega ^ {p, 1} (M, E) \ rightarrow \ pontos \ rightarrow \ Omega _ {E} ^ {p, r} = \ Omega ^ {p, r} (M, E) \ rightarrow \ dots}

que é precisamente o complexo que define os grupos de cohomologia de Dolbeault. O teorema de Dolbeault é deduzido de um resultado geral na cohomologia Čech referente às resoluções acíclicas. Damos aqui uma prova adaptada ao caso estudado.

A sequência exata se divide em sequências curtas e exatas de pacotes:

0→Λp,0M⊗E→ΩEp,0→FEp,1{\ displaystyle 0 \ rightarrow \ Lambda ^ {p, 0} M \ otimes E \ rightarrow \ Omega _ {E} ^ {p, 0} \ rightarrow F_ {E} ^ {p, 1}}e para ,r>0{\ displaystyle r> 0}0→FEp,r→ΩEp,r→Fp,r+1{\ displaystyle 0 \ rightarrow F_ {E} ^ {p, r} \ rightarrow \ Omega _ {E} ^ {p, r} \ rightarrow F ^ {p, r + 1}}

onde designa a imagem de ou, por precisão, o núcleo de . Na verdade, é o feixe de formas diferenciais de bigré (p, q) com valores em e -closed. Observe que é exatamente o kernel de . A imagem de está contida em . Fp,r{\ displaystyle F ^ {p, r}}∂¯:ΩEp,r-1→ΩEp,r{\ displaystyle {\ overline {\ partial}}: \ Omega _ {E} ^ {p, r-1} \ rightarrow \ Omega _ {E} ^ {p, r}}∂¯:ΩEp,r→ΩEp,r+1{\ displaystyle {\ overline {\ partial}}: \ Omega _ {E} ^ {p, r} \ rightarrow \ Omega _ {E} ^ {p, r + 1}}E{\ displaystyle E}∂¯{\ displaystyle {\ overline {\ partial}}}FEp,q(M){\ displaystyle F_ {E} ^ {p, q} (M)}∂¯:Ωp,q(M,E)→Ωp,q+1(M,E){\ displaystyle {\ overline {\ partial}}: \ Omega ^ {p, q} (M, E) \ rightarrow \ Omega ^ {p, q + 1} (M, E)}∂¯:Ωp,q-1(M,E)→Ωp,q(M,E){\ displaystyle {\ overline {\ partial}}: \ Omega ^ {p, q-1} (M, E) \ rightarrow \ Omega ^ {p, q} (M, E)}FEp,q(M){\ displaystyle F_ {E} ^ {p, q} (M)}

Essas curtas sequências exatas induzem longas sequências exatas na cohomologia Čech (que temos o cuidado de não explicar aqui). Como os feixes são acíclicos (pela existência de partições de unidade em qualquer variedade real), um termo em quatro dessa longa seqüência exata é zero. Os morfismos de borda quase todos aparecem como isomorfismos, o que dá as seguintes identidades: ΩEp,q{\ displaystyle \ Omega _ {E} ^ {p, q}}

• Para , e ,  ;q>0{\ displaystyle q> 0}r>0{\ displaystyle r> 0}Hq+1(M,FEp,r)=Hq(M,FEp,r){\ displaystyle H ^ {q + 1} (M, F_ {E} ^ {p, r}) = H ^ {q} (M, F_ {E} ^ {p, r})}
• Para ,  ;r>0{\ displaystyle r> 0}H1(M,FEp,r)=HDoeubr+1(M,E){\ displaystyle H ^ {1} (M, F_ {E} ^ {p, r}) = H _ {\ rm {Dolb}} ^ {r + 1} (M, E)}
• Para ,  ;q>0{\ displaystyle q> 0}Hq+1(M,Λp,0M⊗E)=Hq(M,ΩEp,0){\ displaystyle H ^ {q + 1} (M, \ Lambda ^ {p, 0} M \ otimes E) = H ^ {q} (M, \ Omega _ {E} ^ {p, 0})}
• Então  ;H1(M,Λp,0M⊗E)=HDoeub1(M,E){\ displaystyle H ^ {1} (M, \ Lambda ^ {p, 0} M \ otimes E) = H _ {\ rm {Dolb}} ^ {1} (M, E)}
• E finalmente .H0(M,Λp,0M⊗E)=ker⁡[∂¯:ΩEp,0(M)→FEp,1(M)]=HDoeub0(M,E){\ displaystyle H ^ {0} (M, \ Lambda ^ {p, 0} M \ otimes E) = \ ker \ left [{\ overline {\ partial}}: \ Omega _ {E} ^ {p, 0 } (M) \ rightarrow F_ {E} ^ {p, 1} (M) \ right] = H _ {\ rm {Dolb}} ^ {0} (M, E)}

A combinação desses isomorfismos fornece o resultado desejado. A naturalidade (ou funcionalidade) dos isomorfos obtidos segue imediatamente das propriedades de funcionalidade das longas sequências exatas de grupos de cohomologia Čech como uma função das curtas sequências exatas. A prova do teorema de Dolbeault está concluída.

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