Detalhes de contato para Kruskal-Szekeres
As coordenadas de Kruskal-Szekeres ( ) são a extensão analítica máxima da métrica de Schwarzschild . Eles fornecem soluções adicionais àquelas de Schwarzschild, há em particular um domínio dual para aquele correspondente aos buracos negros : buracos brancos .
v,você,θ,ϕ{\ displaystyle v, u, \ theta, \ phi}![{\ displaystyle v, u, \ theta, \ phi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9427e1e5dccb7e36bc70c356d537cdfa227aa9d)
As coordenadas homônimas são o matemático e físico americano Martin D. Kruskal (1925-2006) e o Hungaro - matemático australiano György (George) Szekeres (1911-2005) que ambos os propuseram em 1960para descrever a geometria de um buraco negro de Schwarzschild .
Nas coordenadas Kruskal-Szekeres, a métrica Schwarzschild é escrita:
ds2=32G3M3rvs6exp(-rvs22GM)(dv2-dvocê2)-r2(dθ2+pecado2θdϕ2){\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32G ^ {3} M ^ {3}} {rc ^ {6}}} \ operatorname {exp} \ left (- {\ frac {rc ^ {2} } {2GM}} \ right) \ left (dv ^ {2} -du ^ {2} \ right) -r ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ right)}![{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32G ^ {3} M ^ {3}} {rc ^ {6}}} \ operatorname {exp} \ left (- {\ frac {rc ^ {2} } {2GM}} \ right) \ left (dv ^ {2} -du ^ {2} \ right) -r ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad7fa9bf444e91e3863f3a31ad079d5a260a0e63)
,
ou :
Com ( cf. raio de Schwarzschild ), ( cf. função exponencial ) e ( cf. ângulo sólido ), está escrito:
RS=2GM/vs2{\ displaystyle R _ {\ mathrm {S}} = 2GM / c ^ {2}}
exp(x)=ex{\ displaystyle \ operatorname {exp} \ left (x \ right) = e ^ {x}}
dΩ2=dθ2+pecado2θdϕ2{\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2}}
ds2=4RS3re-rRS(dv2-dvocê2)-r2dΩ2{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4R _ {\ mathrm {S}} ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {R _ {\ mathrm { S}}}}} \ left (dv ^ {2} -du ^ {2} \ right) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}![{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4R _ {\ mathrm {S}} ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {R _ {\ mathrm { S}}}}} \ left (dv ^ {2} -du ^ {2} \ right) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe49450bdc8919c1cba0fcb5caf59fd1012d089)
.
Em unidades geométricas ( ), está escrito:
vs=G=1{\ displaystyle c = G = 1}![{\ displaystyle c = G = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809ec7e619e378e082644db6daf503f5da473e2e)
ds2=32M3re-r2M(dv2-dvocê2)-r2dΩ2{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32M ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {2M}}} \ left (dv ^ {2} -du ^ {2} \ right) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}![{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32M ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {2M}}} \ left (dv ^ {2} -du ^ {2} \ right) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af0149b08a87be098a64b065ee7c5f4d1ee019c)
.
Histórico
Dentro Dezembro de 1915, Karl Schwarzschild descreve a primeira solução exata das equações de Einstein , que revela uma singularidade inesperada, o raio de Schwarzschild , cuja natureza permanece mal compreendida por muito tempo.
Em 1924, Arthur Eddington esboçou o primeiro sistema de coordenadas não singular com este famoso raio. Em 1938, Georges Lemaître desenvolveu uma métrica síncrona ( Lemaître métrica ); David Finkelstein (en) descobriu outro, não síncrono, em 1958, e hoje é chamado de métrica Eddington-Finkelstein . Synge demonstrará que esta última métrica cobre apenas parte da geometria do espaço-tempo de Schwarzschild, assim como a de Lemaître: essas métricas não nos permitem considerar todos os casos dinâmicos de um corpo no ambiente de um buraco negro de Schwarzschild . No entanto, eles mostraram que esse raio não é uma singularidade física real, mas apenas para a métrica escolhida por Schwarzschild.
Em 1960 , Martin Kruskal e George Szekeres construíram uma nova métrica para estudar todos os tipos de movimentos de um corpo fora e sob o raio de Schwarzschild.
Detalhes de contato de Kruskal-Szekeres
Convenção: a assinatura da métrica é (- + + +).
Kruskal e Szekeres usam coordenadas adimensionais, para a coordenada radial e para a coordenada de tempo, definidas de forma a eliminar o termo na nova métrica. Eles reconstroem por funções transcendentes.
você{\ displaystyle u}
v{\ displaystyle v}
(1-Rsr){\ displaystyle (1- \ textstyle {\ frac {R_ {s}} {r}})}
r(você,v),t(você,v){\ displaystyle r (u, v), t (u, v)}![r (u, v), t (u, v)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8d3b53225c99dae30f2b55ed7532438418549e)
As variáveis e são definidas por:você{\ displaystyle u}
v{\ displaystyle v}![v](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597)
- você2-v2=(rRs-1)erRs{\ displaystyle u ^ {2} -v ^ {2} = (\ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}} - 1) e ^ {\ textstyle {\ frac {r} {R_ {s} }}}}
![u ^ {2} -v ^ {2} = (\ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}} - 1) e ^ {{\ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef05f8655f7a550b0ea7ad3b97dea0efea20f405)
- você+vvocê-v=evstRs{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {u + v} {uv}} = e ^ {\ textstyle {\ frac {ct} {R_ {s}}}}}
![\ textstyle {\ frac {u + v} {uv}} = e ^ {{\ textstyle {\ frac {ct} {R_ {s}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/381620cc596efc07e5134760ef0ffcfeb5ba86e7)
Existem dois casos de tempo:
- se então ;r(você,v)>Rs{\ displaystyle r (u, v)> R_ {s}}
tanhvst2Rs=vvocê{\ displaystyle \ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {v} {u}}}![\ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {v} {u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d9ac25783f86650572b9f388c52c81d3143c87)
- assim então .r(você,v)<Rs{\ displaystyle r (u, v) <R_ {s}}
tanhvst2Rs=vocêv{\ displaystyle \ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {u} {v}}}![\ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {u} {v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a791a0278fbad840ea683220aa98dfdb9993180)
Obtemos a métrica diagonal:
ds2=4Rs3re-rRs(dvocê2-dv2)+r2(dθ2+seunão2θdϕ2){\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4.R_ {s} ^ {3}} {r}} e ^ {- \ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}}} (de ^ {2} -dv ^ {2}) + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})}
que é definido para tudo . O tempo t é, por outro lado, infinito no raio de Schwarzschild ( ).
r(você,v)>0{\ displaystyle r (u, v)> 0}
você=±v{\ displaystyle u = \ pm v}![u = \ pm v](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb845ad29fddf4762bcb570033071eda4eb2d93)
Propriedades
Para a patologia singular da métrica de Schwarzschild é substituída a relação .
r=0{\ displaystyle r = 0}
v2-você2=1{\ displaystyle v ^ {2} -u ^ {2} = 1}![v ^ {2} -u ^ {2} = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff467ee7ced24e33da8dd8a005ec5960967d75bd)
Portanto, agora temos duas singularidades .
{você=v2-1você=-v2-1{\ displaystyle {\ begin {cases} u = {\ sqrt {v ^ {2} -1}} \\ u = - {\ sqrt {v ^ {2} -1}} \ end {cases}}}
As linhas nas coordenadas de Schwarzschild são as hipérboles nas coordenadas de Kruskal. Suas assíntotas são as bissetoras e . As linhas nas coordenadas de Schwarzschild são as linhas que passam pela origem nas coordenadas de Kruskal. As singularidades são representadas pelas bordas das zonas hiperbólicas cinza no desenho ao lado.
r=VSste{\ displaystyle r = Cste}
você2-v2=VSste{\ displaystyle u ^ {2} -v ^ {2} = Cste}
você=v{\ displaystyle u = v}
você=-v{\ displaystyle u = -v}
t=VSste{\ displaystyle t = Cste}
v/você=VSste{\ displaystyle v / u = Cste}![v / u = Cste](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e936293c9edfbef9d8cc7f3020d1459af5f0af79)
Geodésicas de tipo leve são linhas orientadas a 45 °. É fácil verificar isso para nós .
ds=0{\ displaystyle ds = 0}
dvocê2=dv2{\ displaystyle du ^ {2} = dv ^ {2}}![du ^ {2} = dv ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1fa88f442b5ced18cabb7650f66a7f6cf1a8bfe)
A métrica de Schwarzschild diferencia duas regiões do espaço-tempo delimitadas pelo horizonte de eventos. A região é segmentada ao meio com a métrica Kruskal-Szekeres.
r>2M{\ displaystyle r> 2M}![r> 2M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cfbcf20dd23fb0f57e25382c390f746451d286e)
A condição corresponde a .
r>Rs{\ displaystyle r> R_ {s}}
você2>v2{\ displaystyle u ^ {2}> v ^ {2}}
{você>|v|você<-|v|{\ displaystyle {\ begin {cases} u> | v | \\ u <- | v | \ end {cases}}}
Toda a geometria de Schwarzschild é, portanto, representada por quatro regiões diferentes em coordenadas de Kruskal.
Notas e referências
-
Taillet, Villain e Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (coordenadas de), p. 414, col. 1 .
-
Hobson, Efstathiou e Lasenby 2010 , cap. 11 , § 11.9 , p. 264.
-
Taillet, Villain e Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (coordenadas de), p. 414, col. 2 .
-
Kruskal 1960 .
-
Szekeres 1960 .
-
Taillet 2013 , p. 61
-
(em) AS Eddington , ' A comparation of Whitehead's and Einstein's formulaæ "Fevereiro de 1924( DOI 10.1038 / 113192a0 , Bibcode 1924Natur.113..192E ) ,p. 192 url =http://www.strangepaths.com/files/eddington.pdf
-
Lev Landau e Evgueni Lifchits , Física Teórica , t. 2: Teoria de campo [ detalhe das edições ], §102, nota de rodapé.
-
Synge, JL, O campo gravitacional de uma partícula , 1950, Proc. R. Irish Acad. A 53, 83-114.
-
Lev Landau e Evgueni Lifchits , Física Teórica , t. 2: Teoria de campo [ detalhe das edições ], §103, nota de rodapé. Landau também evoca o trabalho de Igor Novikov que, em 1963, obteve uma métrica síncrona com propriedades semelhantes.
Veja também
Artigos originais de Kruskal e Szekeres
-
[Kruskal 1960] (en) MD Kruskal , " Maximal extension of Schwarzschild metric " , Phys. Rev. , vol. 119, n o 5,Setembro de 1960, p. 1743-1745 ( DOI 10.1103 / PhysRev.119.1743 , Bibcode 1960PhRv..119.1743K , resumo ).
-
[Szekeres 1960] (en) G. Szekeres , " Sobre as singularidades de uma variedade Riemanniana " , Publ. Matemática. (Debr.) , Vol. 7,1960, p. 285-301 ( bibcode 1960PMatD ... 7..285S ).
Bibliografia
-
[Hobson, Efstathiou e Lasenby 2010] MP Hobson , GP Efstathiou e AN Lasenby ( trad. Of Engl. Por L. Villain , rev. Por R. Taillet ,) Relatividade Geral [" Relatividade geral: uma introdução para físicos "], Bruxelas , De Boeck Univ. , exceto col. ,Fevereiro 2010, 1 r ed. , 1 vol. , XX -554 p. , doente. , 28 cm ( ISBN 978-2-8041-0126-8 , EAN 9782804101268 , OCLC 690272413 , aviso BNF n O FRBNF42142174 , SUDOC 140535705 , apresentação on-line , ler on-line ) , cap. 11 (“buracos negros de Schwarzschild”), § 11.9 (“Coordenadas de Kruskal”), p. 261-267.
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[Misner, Thorne and Wheeler 1973] (en) Ch. W. Misner , KS Thorne e JA Wheeler , Gravitation ["Gravitation"], San Francisco, WH Freeman , hors coll. ,1973, 1 r ed. , 1 vol. , XXVI -1279 pág. , doente. , 26 cm ( ISBN 0-7167-0334-3 e 0-7167-0344-0 , EAN 9780716703440 , OCLC 300307879 , aviso BNF n O FRBNF37391055 , bibcode 1973grav.book ..... M , SUDOC 004830148 , lido online ) , p. 827 e p. 831-836.
-
[Taillet, Villain e Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain e P. Febvre , Dicionário de física , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , exceto col. ,Janeiro de 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Maio de 2008), 1 vol. , X -956 p. , doente. e fig. , 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , apresentação on-line , ler on-line ) , sv Kruskal-Szekeres (detalhes de contato), p. 414-415.
Link externo
-
[Szeftel 2013] J. Szeftel , " Introdução à relatividade geral de um ponto de vista matemático ", Gargantua base of the École polytechnique ,Dez. 2013, 79 p. , cap. 6 (“Exemplos de soluções explícitas”), seção 6.2 (“solução de Schwarzschild”), 6.2.1. (“Solução e extensão máxima”), p. 59-61 ( ler online ).
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