Correspondência de galois

Em matemática , uma correspondência antítona de Galois é uma generalização, para quaisquer duas ordens parciais , da correspondência entre subcampos de uma extensão de Galois e subgrupos de seu grupo de Galois . Uma correspondência isotônica de Galois é definida de maneira semelhante, invertendo a ordem no segundo conjunto. Esta noção está ligada à de operador de cerca .

Combinação de antítono

Let e be funções definidas em dois conjuntos ordenados e . A equivalência das duas definições a seguir é facilmente verificada. ${\ displaystyle m_ {1}: P \ a Q}$ ${\ displaystyle m_ {2}: Q \ a P}$ ${\ displaystyle (P, \ leq _ {P})}$ ${\ displaystyle (Q, \ leq _ {Q})}$

Primeira definição : é uma correspondência de Galois antítono se e estiver diminuindo e se e for extensa , ou seja, verifique (para qualquer elemento p de P e qualquer elemento q de Q ): ${\ displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$ $m_1$ $m_ {2}$ ${\ displaystyle m_ {2} \ circ m_ {1}}$ ${\ displaystyle m_ {1} \ circ m_ {2}}$

{\ displaystyle p \ leq _ {P} m_ {2} (m_ {1} (p)) \ qquad {\ text {et}} \ qquad q \ leq _ {Q} m_ {1} (m_ {2} (q)) ~.}

Segunda definição : é uma correspondência de Galois antítono se e verifica (para qualquer elemento p de P e qualquer elemento q de Q ): ${\ displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$ $m_1$ $m_ {2}$

{\ displaystyle q \ leq _ {Q} m_ {1} (p) \ Leftrightarrow p \ leq _ {P} m_ {2} (q) ~.}

Correspondência isotônica

Com as mesmas notações de antes, uma correspondência isotônica de vermes é, no sentido de variação de e próximo (agora assume-se que estejam aumentando), uma correspondência de antítono entre e o conjunto ordenado , onde denota a ordem oposta (ou "dual pedido ") De . Em outras palavras : ${\ displaystyle (P, \ leq _ {P})}$ ${\ displaystyle (Q, \ leq _ {Q})}$ $m_1$ $m_ {2}$ ${\ displaystyle (P, \ leq _ {P})}$ ${\ displaystyle (Q, \ leq _ {Q} ^ {op})}$ ${\ displaystyle \ leq _ {Q} ^ {op}}$ ${\ displaystyle \ leq _ {Q}}$

Primeira definição : é uma correspondência isotônica de Galois se e estão aumentando e se (para qualquer elemento p de P e qualquer elemento q de Q ): ${\ displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$ $m_1$ $m_ {2}$

{\ displaystyle p \ leq _ {P} m_ {2} (m_ {1} (p)) \ qquad {\ text {et}} \ qquad m_ {1} (m_ {2} (q)) \ leq _ {Q} q ~.}

Segunda definição : é uma correspondência isotônica de Galois se (para qualquer elemento p de P e qualquer elemento q de Q ): ${\ displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$

{\ displaystyle m_ {1} (p) \ leq _ {Q} q \ Leftrightarrow p \ leq _ {P} m_ {2} (q) ~.}

Propriedades

Uma correspondência de Galois como acima (antítono ou isótono). ${\ displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$

${\ displaystyle m_ {2} \ circ m_ {1}}$ e estão aumentando. ${\ displaystyle m_ {1} \ circ m_ {2}}$
${\ displaystyle m_ {2} \ circ m_ {1} \ circ m_ {2} = m_ {2}}$ (e ), de modo que e são idempotentes . ${\ displaystyle m_ {1} \ circ m_ {2} \ circ m_ {1} = m_ {1}}$ ${\ displaystyle m_ {2} \ circ m_ {1}}$ ${\ displaystyle m_ {1} \ circ m_ {2}}$
${\ displaystyle m_ {2} \ circ m_ {1}}$ é um operador de fecho em (uma vez que é mais extensa ). ${\ displaystyle (P, \ leq _ {P})}$
No caso do antítono , o mesmo ocorre com um operador de cerca ativado . ${\ displaystyle m_ {1} \ circ m_ {2}}$ ${\ displaystyle (Q, \ leq _ {Q})}$
Por outro lado, qualquer operador de fechamento c em um conjunto ordenado tem a forma de uma certa correspondência de Galois, escolhendo por exemplo para Q a imagem de c (fornecida com a ordem induzida ou com seu oposto, dependendo do que se deseja construir uma correspondência de isótono ou antitone) para o corestriction de C a Q , e a injecção canónica de Q em P . ${\ displaystyle (P, \ leq _ {P})}$ ${\ displaystyle m_ {2} \ circ m_ {1}}$ $m_1$ $m_ {2}$

Observação

(em) TS Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures , Springer, 2005 ( ISBN 978-1-85233-905-0 ) , p. 10 .

Veja também

Galois trellis