Curva pseudo-holomórfica

Em topologia e geometria , uma curva pseudo - holomórfica é um mapeamento de uma superfície de Riemann , possivelmente na borda, em uma variedade quase complexa que satisfaz as equações de Cauchy-Riemann . A regularidade é imposta pela regularidade da estrutura quase complexa utilizada.

Introduzido em 1985 por Mikhaïl Gromov , eles desempenham um papel central na geometria simplética e intervêm em particular na definição da homologia de Floer .

Definição

Ao longo do artigo, J denota uma estrutura quase complexa de classe C k em uma variedade diferencial M  : em outras palavras, J é um campo de operadores no espaço tangente de M da classe C k que satisfaz J 2 = -Id. é uma superfície de Riemann, possivelmente na borda; j denota a estrutura quase complexa associada. Pelo teorema da uniformização , j é equivalente aos dados de uma estrutura conforme. Se necessário, uma área de forma d v é introduzida na superfície , o que é equivalente a especificar uma métrica Riemanniana. Σ{\ displaystyle \ Sigma}Σ{\ displaystyle \ Sigma}

Uma curva pseudo-holomórfica é um mapa ( , j ) ( M , J ) que verifica a identidade: Σ{\ displaystyle \ Sigma}→{\ displaystyle \ rightarrow}

dvocê∘j=J∘dvocê{\ displaystyle du \ circ j = J \ circ du}.

Essa identidade significa exatamente que o diferencial d u  : T T M é um morfismo de feixes vetoriais complexos . Σ→{\ displaystyle \ Sigma \ rightarrow}

A questão da regularidade de u na definição é secundária. O mapa u é necessariamente da classe C k -1 .

Energia

Na geometria simplética , dada uma forma simplética , é prática comum introduzir uma estrutura J quase complexa que é compatível. ω{\ displaystyle \ omega}ω{\ displaystyle \ omega}

E(você)=∫Σ‖dvocê‖22dv=∫Σf∗ω{\ displaystyle E (u) = \ int _ {\ Sigma} {\ frac {\ | du \ | ^ {2}} {2}} dv = \ int _ {\ Sigma} f ^ {*} \ omega}

Um primeiro ponto importante é que a finitude da energia permite a extensão das curvas pseudo-holomórficas nos pontos onde não estão definidas:

Teorema da elevação da singularidade  -  Seja ( M , ) uma variedade simplética compacta e J uma estrutura compatível quase complexa . É uma curva pseudoholomorphe u domínio uma vizinhança aberta embotamento V - {0} 0 em C . Se u é de energia finita, em outras palavras, se ω{\ displaystyle \ omega}ω{\ displaystyle \ omega}

∫V-{0}f∗ω<∞{\ displaystyle \ int _ {V - \ {0 \}} f ^ {*} \ omega <\ infty}

Em seguida, u é estendido (por continuidade), a 0 em um pseudoholomorphe definido na curva V .

As evidências são baseadas em argumentos de natureza analítica. Por exemplo, sob os pressupostos do teorema anterior, uma curva pseudo-holomórfica C ( M , J ) de energia finita se estende em uma esfera pseudo-holomórfica S 2 = C ( M , J ). →{\ displaystyle \ rightarrow}∪{∞}→{\ displaystyle \ cup \ {\ infty \} \ rightarrow}

Um segundo ponto importante é uma propriedade de quantificação da energia de esferas pseudo-holomórficas:

Teorema - Seja uma variedade simplética compacta ( M , ) e J uma estrutura compatível quase complexa . Então existe um número finito de classes de homotopia A em H 2 ( M , Z ), tal que A pode ser representado por uma esfera pseudo-holomórfica de energia menor que c . ω{\ displaystyle \ omega}ω{\ displaystyle \ omega}

Este resultado permanece válido pela substituição de J por uma família compacta de estruturas quase complexas compatíveis. ω{\ displaystyle \ omega}

Estabilidade

Curvas pseudo-holomórficas exibem propriedades de estabilidade ou compactação.

Deixe- H ser um colector compacto , e uma sequência J n de quase complexos classe estruturas C convergem para J , na acepção do C topologia . Para uma superfície de Riemann , deixe uma sequência de curvas pseudo-holomórficas u n : ( M , J n ) tais que: ∞{\ displaystyle \ infty}∞{\ displaystyle \ infty}Σ{\ displaystyle \ Sigma}Σ→{\ displaystyle \ Sigma \ rightarrow}

e aínão‖dvocênão‖eu∞(K)<∞{\ displaystyle \ sup _ {n} \ | du_ {n} \ | _ {L ^ {\ infty} (K)} <\ infty}

para qualquer K compacto de . Então, a sequência u n admite uma subsequência que converge uniformemente, bem como todas as suas derivadas em qualquer compacto de . O limite u é necessariamente uma curva pseudo-holomórfica ( M , J ). Σ{\ displaystyle \ Sigma}Σ{\ displaystyle \ Sigma}Σ→{\ displaystyle \ Sigma \ rightarrow}

Bibliografia

(pt) Dusa McDuff e Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology , publicações do colóquio da American Mathematical Society,2004( ISBN  0-8218-3485-1 )

(pt) Mikhaïl Gromov , Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds , vol.  82, Inventiones Mathematicae ( n o  2),1 ° de junho de 1985, p. 307–347  p. ( DOI  10.1007 / BF01388806 )

( fr ) Simon Donaldson , What Is ... a Pseudoholomorphic Curve? , Notices of the American Mathematical Society, 52 (9),Outubro de 2005, 1026-1027  p. ( leia online [PDF] )

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