Meio grupo

Na matemática, mais precisamente na álgebra geral , um meio-grupo (ou semi-grupo ) é uma estrutura algébrica composta por um conjunto provido de uma lei de composição interna associativa . Diz-se que é comutativa se sua lei também for comutativa .

Link com outras estruturas

Um meio-grupo é um magma associativo . Um monóide é um meio-grupo unificado, ou seja, possui um elemento neutro .

Exemplos

• O conjunto de números naturais diferentes de zero com adição como a lei é um semigrupo.
• O conjunto vazio para sua única lei de composição interna: o mapa vazio .
• Qualquer grupo e, mais geralmente, qualquer monóide .
• Qualquer pseudo-anel , para multiplicação (mais exatamente se for um pseudo-anel , então é um meio-grupo).(NO,+,∗){\ displaystyle (A, +, *)}(NO,∗){\ displaystyle (A, *)}
• Qualquer conjunto ordenado do qual qualquer par de elementos tem um limite inferior , provido precisamente com a lei que associa este limite inferior a eles, constitui um meio-grupo comutativo e do qual cada elemento é idempotente . O inverso é verdadeiro: seja esse meio-grupo, definindo si , temos S parcialmente ordenado por R e qualquer par de elementos tem um limite inferior em ( S , R ) .(S,∗){\ displaystyle (S, *)}noRb{\ displaystyle aRb}no∗b=no{\ displaystyle a * b = a}
• Para qualquer meio-grupo , o conjunto de partes de S também é aquele para a operação definida por(S,∗){\ displaystyle (S, *)}NO⋅B={no∗b∣no∈NO,b∈B}.{\ displaystyle A \ cdot B = \ {a * b \ mid a \ in A, b \ in B \}.}

Morfismo

Deixe e seja dois meios-grupos. Uma aplicação é um morfismo de meios grupos para todos . Por exemplo, o mapa é um morfismo do meio-grupo de inteiros naturais fornecidos com a adição no meio-grupo de potências inteiras de 2 fornecidas com a multiplicação. (S,⋅){\ displaystyle (S, \ cdot)}(T,⋆){\ displaystyle (T, \ star)}f:S→T{\ displaystyle f: S \ to T}f(s⋅t)=f(s)⋆f(t){\ displaystyle f (s \ cdot t) = f (s) \ star f (t)}s,t∈S{\ displaystyle s, t \ in S}f:não↦2não{\ displaystyle f: n \ mapsto 2 ^ {n}}

Adição de um elemento neutro

Ou meio grupo. Costuma-se notar o monóide obtido pela adição de um elemento adicional, que determinará como a única extensão de para o que torna este novo elemento neutro do último remanescente se já estiver unificado . Formalmente (S,⋅){\ displaystyle (S, \ cdot)}(S1,⋅′){\ displaystyle (S ^ {1}, \ cdot ')}S{\ displaystyle S}⋅′{\ displaystyle \ cdot '}⋅{\ displaystyle \ cdot}(S1)2{\ displaystyle (S ^ {1}) ^ {2}}(S1,⋅′);{\ displaystyle (S ^ {1}, \ cdot ');}(S,⋅){\ displaystyle (S, \ cdot)}

S1={SE se S vsonãoteuenãot vocênão e´eue´menãot nãoevocêtre ;S∪{1}se não.{\ displaystyle S ^ {1} = {\ begin {cases} S & {\ text {si}} S \ mathrm {~ contém ~ a ~ {\ agudo {e}} o {\ agudo {e}} ment ~ neutro ~;} \\ S \ cup \ {1 \} & {\ text {caso contrário.}} \ End {cases}}}

No segundo caso, é qualquer objeto que não aparece em , e a lei sobre é estendida ao posar 1{\ displaystyle 1}S{\ displaystyle S}⋅{\ displaystyle \ cdot}S{\ displaystyle S}S∪{1}{\ displaystyle S \ cup \ {1 \}}

no⋅′1=1⋅′no=no{\ displaystyle a \ cdot '1 = 1 \ cdot' a = a}para tudo emno{\ displaystyle a}S∪{1}.{\ displaystyle S \ cup \ {1 \}.}

Quando o meio-grupo é comutativo , o monóide também o é . Em seguida, definimos seu grupo simetrizado ou grupo de Grothendieck . Se além disso é simplificável (isto é, se todos os seus elementos são regulares ), então também o é, pois o morfismo canônico de in (via ) é injetivo . (S,⋅){\ displaystyle (S, \ cdot)}(S1,⋅′){\ displaystyle (S ^ {1}, \ cdot ')} G(S1,⋅′){\ displaystyle G (S ^ {1}, \ cdot ')}(S,⋅){\ displaystyle (S, \ cdot)}(S1,⋅′){\ displaystyle (S ^ {1}, \ cdot ')}(S,⋅){\ displaystyle (S, \ cdot)}G(S1,⋅′){\ displaystyle G (S ^ {1}, \ cdot ')}(S1,⋅′){\ displaystyle (S ^ {1}, \ cdot ')}

Sub-meio-grupo

Um sub-meio-grupo de um meio-grupo é um subconjunto de fechado sob a operação de . Um sub-monóide de um monóide é um subgrupo da metade do qual contém o elemento neutro de . S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}

Assim, o conjunto ℕ de números naturais, fornecido com a multiplicação, é um meio-grupo comutativo do qual o conjunto 2ℕ de números pares é um sub-meio-grupo: observe que ℕ é um monóide com elemento neutro 1 enquanto 2ℕ é apenas metade um grupo.

Um subgrupo da metade de um monóide pode ser um monóide sem ser um sub-monóide de . Por exemplo, no monóide multiplicativo ℕ acima, o sub-meio-grupo {0} é o monóide trivial, mas não é um sub-monóide de ℕ, porque não contém o elemento neutro de ℕ. M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}

Marcha ré

Existe em meio-grupos uma noção de pseudoinverso (a ser comparado com o de matriz pseudoinversa ) e uma noção de inverso (necessariamente diferente daquele de "inverso" no sentido de elemento simétrico em grupos, uma vez que um meio-grupo não necessariamente ter um elemento neutro); (veja também Inverso (desambiguação) ):

x{\ displaystyle x}é um pseudoinverso de if .no{\ displaystyle a}noxno=no{\ displaystyle axa = a} b{\ displaystyle b}é o inverso de if e .no{\ displaystyle a}nobno=no{\ displaystyle aba = a}bnob=b{\ displaystyle bab = b}

Qualquer coisa oposta é obviamente um pseudoinverso. Por outro lado, se é um pseudoinverso de então é o inverso de , pois e . x{\ displaystyle x}no{\ displaystyle a}b=xnox{\ displaystyle b = xax}no{\ displaystyle a}nobno=no(xnox)no=(noxno)(xno)=no(xno)=no{\ displaystyle aba = a (xax) a = (axa) (xa) = a (xa) = a}bnob=(xnox)nob=x(noxno)b=(xno)(xnox)=x(noxno)x=xnox=b{\ displaystyle bab = (xax) ab = x (axa) b = (xa) (xax) = x (axa) x = xax = b}

Um meio-grupo regular é um meio-grupo em que cada elemento admite pelo menos um pseudoinverso ou (o que, de acordo com o anterior, é equivalente) pelo menos um inverso.

Um meio-grupo inverso é um meio-grupo em que cada elemento admite um inverso único .

Ideais

Alguns metade de um grupo é um ideal esquerda ( direita ) se , . É um ideal ( bilateral ) se for um ideal à direita e à esquerda. Para cada elemento do conjunto , , é a direita para a esquerda, direita, frente e verso gerado pelo . Um ideal é adequado se não for vazio e distinto de todo o meio-grupo. eu{\ displaystyle I}S{\ displaystyle S}Seu⊂eu{\ displaystyle SI \ subset I}euS⊂eu{\ displaystyle IS \ subset I}no{\ displaystyle a}S{\ displaystyle S}S1no{\ displaystyle S ^ {1} a}noS1{\ displaystyle aS ^ {1}}S1noS1{\ displaystyle S ^ {1} aS ^ {1}}no{\ displaystyle a}

Um nulo de uma meia-grupo é um elemento tal que faneca tudo em . Por exemplo, o número 0 é um zero de números inteiros para multiplicação. Se um meio-grupo tiver um zero, ele será único. O zero, se existe, é um ideal bilateral adequado se não for reduzido a este elemento. S{\ displaystyle S}0{\ displaystyle 0}0s=s0=0{\ displaystyle 0s = s0 = 0}s{\ displaystyle s}S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}

Quociente de Rees

Ou um meio-grupo e um ideal de . O quociente Rees de pelo quociente de semigroup a congruência Rees , definido pela S{\ displaystyle S}eu{\ displaystyle I}S{\ displaystyle S} S/eu{\ displaystyle S / I}S{\ displaystyle S}eu{\ displaystyle I}S{\ displaystyle S} J{\ displaystyle {\ mathcal {J}}}

xJy⟺x=y ou x,y∈eu{\ displaystyle x {\ mathcal {J}} y \ iff x = y {\ text {ou}} x, y \ in I}.

Se estiver vazio . Se , é um singleton. Se , usamos a seguinte construção: Denotamos a classe por par e identificamos as outras classes por seu elemento único. Então , com a multiplicação definida como: é zero, e eu{\ displaystyle I}S/eu=S{\ displaystyle S / I = S}eu=S{\ displaystyle I = S}S/eu{\ displaystyle S / I}eu≠∅,S{\ displaystyle I \ neq \ emptyset, S}eu{\ displaystyle I}0{\ displaystyle 0}S/eu=(S∖eu)∪{0}{\ displaystyle S / I = (S \ setminus I) \ cup \ {0 \}}∗{\ displaystyle *}0{\ displaystyle 0}

x∗y={0E se xy∈euxyse não.{\ displaystyle x * y = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} xy \ in I \\ xy & {\ text {caso contrário}}. \ end {cases}}}

O quociente de Rees recebeu o nome de seu designer, o matemático David Rees .

Exemplo No monóide livre gerado por um alfabeto com pelo menos duas letras, consideramos o ideal de palavras contendo uma palavra quadrada , ou seja, o conjunto de palavras da forma , onde estão as palavras en 'não é a palavra vazia. O quociente de Rees é formado pelas palavras ao quadrado de , e um zero. Se é composto por duas letras e , o quociente de Rees é finito e formado por , da palavra vazia e por zero. Se tiver mais de duas letras, esse quociente de Rees é infinito.NO∗{\ displaystyle A ^ {*}} NO{\ displaystyle A} xyyz{\ displaystyle xyyz}x,y,z{\ displaystyle x, y, z}y{\ displaystyle y}NO∗{\ displaystyle A ^ {*}}NO{\ displaystyle A}no{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}no,b,nob,bno,nobno,bnob{\ displaystyle a, b, ab, ba, aba, bab}NO{\ displaystyle A}

Meio-grupo simples e 0-simples

• Um meio-grupo é simples se seus únicos ideais forem e S.S{\ displaystyle S}∅{\ displaystyle \ emptyset}
• Um meio-grupo é 0-simples se tiver um zero denotado , se e se e forem seus únicos ideais. Como é um ideal não vazio, a única possibilidade que resta é . Um meio-grupo 0-simples, portanto, não é reduzido a seu zero.S{\ displaystyle S}0{\ displaystyle 0}S2≠{0}{\ displaystyle S ^ {2} \ neq \ {0 \}}∅,0{\ displaystyle \ emptyset, 0}S{\ displaystyle S}S2{\ displaystyle S ^ {2}}S2=S{\ displaystyle S ^ {2} = S}

Exemplos O meio-grupo bicíclico é simples. Qualquer grupo é simples como um meio grupo. Um grupo 0 é um meio-grupo da forma , onde é um grupo e onde é um elemento que desempenha o papel de um zero e não está em . A lei de é, portanto, estendida a por por em . Normalmente escrevemos para . De forma mais geral, se for um meio-grupo não vazio, denotamos o meio-grupo com zero obtido pela adição de zero a . Um grupo 0 é um meio grupo 0 único.G∪{0}{\ displaystyle G \ cup \ {0 \}}G{\ displaystyle G}0{\ displaystyle 0}G{\ displaystyle G}G{\ displaystyle G}G∪{0}{\ displaystyle G \ cup \ {0 \}}0s=s0=0{\ displaystyle 0s = s0 = 0}s{\ displaystyle s}G∪{0}{\ displaystyle G \ cup \ {0 \}}G0{\ displaystyle G ^ {0}}G∪{0}{\ displaystyle G \ cup \ {0 \}}S{\ displaystyle S}S0{\ displaystyle S ^ {0}}S{\ displaystyle S}

Ideal mínimo

O produto de ideais é um ideal contido em sua interseção. Como resultado, se os ideais não são vazios, tampouco o é sua interseção. eu1eu2⋯eunão{\ displaystyle I_ {1} I_ {2} \ cdots I_ {n}}eu1,eu2,...,eunão{\ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, \ ldots, I_ {n}}eu1,eu2,...,eunão{\ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, \ ldots, I_ {n}}

Um ideal não vazio é mínimo se não contém nenhum outro ideal não vazio. Assim, um ideal mínimo, visto como um meio-grupo, é um meio-grupo simples. Visto que a interseção de dois ideais não vazios é um ideal não vazio, um meio-grupo tem no máximo um ideal mínimo. A existência de um ideal mínimo é assegurada no caso de um meio-grupo finito (simplesmente consideramos a interseção de todos os ideais não vazios). eu{\ displaystyle I}

Se um meio-grupo tiver um zero , ele sozinho é o mínimo ideal de . Um ideal de é -minimal se não for vazio, for diferente de e não contiver nenhum outro ideal não vazio. Um ideal mínimo 0 , visto como um meio-grupo, é um meio-grupo 0-simples, a menos . S{\ displaystyle S}0{\ displaystyle 0}S{\ displaystyle S}eu{\ displaystyle I}S{\ displaystyle S}0{\ displaystyle 0}0{\ displaystyle 0}eu{\ displaystyle I}eu2=0{\ displaystyle I ^ {2} = 0}

Exemplo O meio-grupo definido por for tem dois ideais 0-mínimo, a saber e .S={s,t,0}{\ displaystyle S = \ {s, t, 0 \}}xy=0{\ displaystyle xy = 0}x,y∈S{\ displaystyle x, y \ in S}{s,0}{\ displaystyle \ {s, 0 \}}{t,0}{\ displaystyle \ {t, 0 \}}

Histórico

O estudo de meios-grupos, como uma estrutura algébrica, começa com obras russas, notadamente de Anton Suschkewitsch , que em 1928 determinou a estrutura de semigrupos simples finitos, e Evgenii Sergeevich Lyapin . Alguns anos depois, outros trabalhos fundamentais foram realizados por David Rees , James Alexander Green , Alfred H. Clifford e Gordon Preston . A teoria dos meios-grupos finitos se desenvolveu muito, em conjunto com a teoria dos autômatos, sob a liderança de Marcel-Paul Schützenberger e Samuel Eilenberg em particular. Está diretamente relacionado às variedades de linguagens formais .

Desde 1970, um periódico dedicado à teoria dos meios-grupos apareceu, chamado Semigroup Forum .

Referências

• Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo intitulado "  Semi-grupo  " (ver lista de autores ) .

• (fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado "  Semigroup  " ( ver a lista de autores ) .

1. Esta definição está de acordo com N. Bourbaki , Elements of mathematics , Algebra , vol. I, Paris, edição de 1970, cap. I, § 2, n ° 1, def. 2, pág. I.12. Na edição de 1964, "monóide" tinha um significado diferente.
2. Pode ter existido uma certa confusão terminológica na língua francesa devido, pelo menos em parte, ao facto de, em 1904, o matemático francês J.-A. de Séguier, em Elements of the Theory of Abstract Groups , ter proposto o termo "Semi-grupo" para designar um meio-grupo simplificável. Essa distinção foi abandonada.
3. Kilp, Knauer e Mikhalev 2000 , página 33.
4. Clifford e Preston 1961 , Lemma 1.14.
5. O termo “inversivo” aparece em G. Thierrin, “Sur les elements inversives et les elements unitaires d'un demi-grouppe inversif”, CR Acad. Sci. Paris vol. 234 (1952) pp. 33-34. Também dizemos "reverso", em analogia com o termo inglês.
6. Howie aceita o ideal vazio, Grillet pede que não fique vazio.
7. Veja, por exemplo, Grillet 1995 , p.  17-18.
8. Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit , 1928.
9. (em) GB Preston , "  Reminiscências pessoais da história inicial dos semigrupos  " , em gap-system.org ,1990(acessado em 12 de maio de 2009 ) .
10. Pin 1986 .

Literatura

História de meio-grupos

• Gordon B. Preston , "  Reminiscências pessoais da história inicial dos semigrupos  " , em gap-system.org ,1990.
• Paul Dubreil , "  Aparência e primeiros desenvolvimentos da teoria dos meios-grupos na França  ", Cahiers du seminaire d'histoire des mathematiques , vol.  2,Mil novecentos e oitenta e um, p.  59-65 ( Resenhas de matemática  618658 , zbMATH  0465.01005 , ler online )

Obras históricas

• (pt) Alfred H. Clifford e Gordon B. Preston , The Algebraic Theory of Semigroups , vol.  I, Providence, RI, American Mathematical Society, col.  "Surveys matemático" ( n o  7-Parte I),1961, xv + 224  pág. ( ISBN  978-0-8218-0272-4 , Resenhas de matemática  0132791 , leia online )
• (em) Alfred H. Clifford e Gordon B. Preston , The Algebraic Theory of Semigroups , vol.  II, Providence, RI, American Mathematical Society, col.  "Surveys matemático" ( n S  7-Parte II),1967, xv + 350  pág. ( ISBN  978-0-8218-0272-4 , Math Reviews  0218472 , leia online )
• (pt) Evgueni S. Lyapine , Semigroups , American Mathematical Society, coll.  "Traduções de Monografias Matemática" ( n o  3),1963Seguem-se duas outras edições, uma primeira em 1968 com um capítulo adicional e uma segunda, em 1974, com outro capítulo adicional.

Livros clássicos

• ( fr ) John M. Howie , Fundamentals of Semigroup Theory , Oxford, Oxford University Press, col.  “Monografias da London Mathematical Society. New Series “( n o  12),1995, x + 351  pág. ( ISBN  0-19-851194-9 , Math Reviews  1455373 )
• (pt) Pierre Antoine Grillet , Semigroups: Uma Introdução à Teoria da Estrutura , Marcel Dekker, coll.  "Monografias e livros didáticos em Matemática Pura e Aplicada" ( n o  193)1995, xii + 398  pág. ( ISBN  0-8247-9662-4 , Math Reviews  2000g: 20001 )
• Gérard Lallement , Semigrupos e Aplicações Combinatórias , John Wiley & Sons, col.  "Matemática Pura e Aplicada",1979, xi + 376  pág. ( ISBN  0-471-04379-6 , Math Reviews  81j: 20082 )

• (pt) Jean-Éric Pin , Varieties of Formal Languages , Plenum Press,1986

Trabalhos recentes

• (pt) Mati Kilp , Ulrich Knauer e Alexander V. Mikhalev , Monoids, Atos e Categorias: Com Aplicações a Gráficos e Produtos de Coroas , Berlim / Nova York, Walter de Gruyter, col.  “De Gruyter Exposições em Matemática” ( N O  29),2000, xviii + 529  pág. ( ISBN  3-11-015248-7 )
• (pt) Attila Nagy , Classes Especiais de Semigrupos , Kluwer Academic Publishers, col.  "Advances in Matemática (Dordrecht)" ( n o  1),2001, viii + 269  pág. ( ISBN  0-7923-6890-8 , Math Reviews  2002d: 20091 , apresentação online )

Artigos relacionados

• Aulas especiais de meio grupo  (em)
• Teorema da variedade de Eilenberg
• Meio grupo 3x + 1
• Meio-grupo automático
• Meio-grupo digital

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