Divisão harmônica

Na geometria afim , quatro pontos alinhados estão em divisão harmônica quando verificam a igualdade das relações de medição algébrica indicadas ao lado. Ele aparece naturalmente em várias figuras geométricas, por exemplo, o quadrilátero completo . É mais fundamentalmente uma noção de geometria projetiva , uma vez que se trata de expressar que uma razão cruzada vale -1.

Permite definir a conjugação harmônica , que encontramos na conjugação em relação a duas retas, em relação a um círculo, e mais geralmente em relação a uma cônica , isto é (em projetiva) a l ' ortogonalidade com respeito à forma quadrática que o define.

Pontos na divisão harmônica

Dizemos que o verdadeiro $b$ é a média harmônica de $c$ e $d$ se . ${\ displaystyle {\ frac {2} {b}} = {\ frac {1} {c}} + {\ frac {1} {d}}}$

Quatro pontos $A , B , C , D$ (nesta ordem) de uma linha são ditos em divisão harmônica se é a média harmônica de e ; é $\ overline {AB}$ ${\ displaystyle {\ overline {AC}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AD}}}$

Relação de Descartes : ${\ displaystyle {\ frac {2} {\ overline {AB}}} = {\ frac {1} {\ overline {AC}}} + {\ frac {1} {\ overline {AD}}}.}$

Ainda podemos escrever esta relação na forma, quer dizer que preferimos colocar na forma ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ overline {AB}}} - {\ frac {1} {\ overline {AC}}} = - ({\ frac {1} {\ overline {AB}}} - {\ frac {1} {\ overline {AD}}})}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {BC}} {\ overline {AC}}} = - {\ frac {\ overline {BD}} {\ overline {AD}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {CA}} {\ overline {CB}}} = - {\ frac {\ overline {DA}} {\ overline {DB}}}.}$

A quantidade que neste caso assume o valor –1 é chamada de razão cruzada ou razão anarmônica dos quatro pontos e é uma invariante interessante na geometria projetiva. ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {CA}} {\ overline {CB}}} {\ mathrel {:}} {\ frac {\ overline {DA}} {\ overline {DB}}}}$

Também dizemos que C e D dividem harmonicamente o segmento [ AB ]; devido ao sinal da razão cruzada, um desses dois pontos está dentro do segmento [ CD ] e o outro fora; além disso, as relações de comprimento CA / CB e DA / DB são iguais.

A relação tem várias simetrias: se A e B dividem harmonicamente [ CD ], então por um lado B e A também, por outro lado C e D dividem harmonicamente [ AB ]. A divisão harmônica, portanto, depende apenas do par de pares de pontos {{ A , B }, { C , D }}, a ordem entre os dois pares e dentro deles sendo indiferente, o que faz 8 permutações (identidade incluída) fora do 24 possíveis. Mostramos que as outras 16 permutações não preservam a divisão harmônica: a ordem entre os quatro pontos não é indiferente.

É fácil provar que uma sequência de quatro pontos alinhados ( A , B , C , D ) está em divisão harmônica se e somente se uma das seguintes relações for mantida:

Relação de Newton : onde I é o ponto médio de [AB]; ${\ displaystyle IA ^ {2} (= IB ^ {2}) = {\ overline {IC}}. {\ overline {ID}}}$

Relação Mac-Laurin : onde J é o ponto médio de [CD]. ${\ displaystyle {\ overline {AC}}. {\ overline {AD}} = {\ overline {AB}}. {\ overline {AJ}}}$

Conjugado harmônico

Definição

Sejam três pontos distintos A , B e I alinhados. Um simples cálculo vetorial ou baricêntrico mostra que, se I não for o ponto médio de [ AB ], existe um único ponto J tal que I e J dividem harmonicamente [ AB ]. O ponto J é chamado harmónica conjugado de I em relação a A e B . Do exposto acima, se J é o conjugado harmônico de I em relação a dois pontos dados, I é o conjugado harmônico de J em relação a esses mesmos pontos.

É natural estender a relação de conjugação aos pontos A e B tomando cada um deles igual ao seu conjugado (escreva a condição de divisão harmônica como uma igualdade de produtos).

Como parte do plano projectiva , visto como completar o plano afim, a adição de um ponto no infinito na direcção da linha por meio de um e B . Isto é, naturalmente, do conjugado harmónica do meio de um e B em comparação com A e B . Isso aparece na seguinte construção. Por outro lado, o ponto médio é o conjugado do ponto ao infinito.

Construção geométrica

Podemos construir o conjugado harmônico explorando uma propriedade dos feixes harmônicos , que será estudada na próxima seção. Por enquanto, vamos chamar o feixe harmônico de quatro linhas de secantes no mesmo ponto, e de modo que haja uma secante para essas quatro linhas que as cruzam em quatro pontos na divisão harmônica (a ordem das linhas não é indiferente, veja a seguir seção). Em seguida, mostramos (ver figura em anexo) que:

Proposta. - Um feixe de quatro linhas é harmônico se e somente se um paralelo a um de seus raios é dividido pelos outros três em dois segmentos iguais.

Dados três pontos distintos A , B e I em uma linha, de modo que I não seja o ponto médio de A e B , podemos encontrar o ponto J de conjugado harmônico de I em relação a A e B construindo um feixe harmônico [ MA , MB , MI , MJ ' ] da seguinte forma:

seja M um ponto não alinhado com os anteriores; o paralelo a ( MA ) passando por B, portanto, intercepta ( MI ) em um ponto que é denominado I ' ;
seja J ' o simétrico de I' com respeito a B, então ( MJ ' ) intercepta ( AB ) em J que é o ponto procurado. Com efeito, se ( MJ ' ) e ( AB ) eram paralelas, AMBJ' é um paralelogramo, e assim AMBI ' também, e o ponto I , ponto de intersecção das diagonais do último seria meio de um e B .

Esta construção fornece uma demonstração geométrica da existência do conjugado harmônico, mas também de sua singularidade (a propriedade usada é uma condição necessária é suficiente). Quando I é o ponto médio de A e B , a linha ( MJ ' ) é paralela à linha ( AB ), o que é consistente com a escolha do ponto no infinito como um conjugado na geometria projetiva.

Também podemos construir o conjugado harmônico pelo polar, usando apenas a regra (veja abaixo).

Feixe harmônico de linhas

Definição e propriedade característica

A definição de feixe harmônico no plano afim é um pouco mais geral do que a dada no parágrafo anterior: é cerca de quatro linhas retas em uma determinada ordem, secante no mesmo ponto ou todas paralelas (ou seja, secante no mesmo ponto no infinito no plano projetivo visto como completado pelo plano afim), e tal que existe uma secante para essas quatro linhas que as cruza em uma divisão harmônica, os 4 pontos sendo naturalmente tomados na mesma ordem dos direitos aos quais eles pertencem .

Quando as quatro retas são paralelas, qualquer secante é então cortada por elas em uma divisão harmônica, de acordo com o teorema de Tales que dá a conservação das razões de medição algébrica em jogo.

Quando as linhas vêm do mesmo ponto, as relações não são mais mantidas, mas as relações cruzadas são .

Proposta. - Vamos considerar um feixe de quatro retas D 1 , D 2 , D 3 , D 4 vindo de um ponto O. Supomos que uma reta D os cruze nos pontos M 1 , M 2 , M 3 , M 4 formando um harmônico divisão, então será o mesmo para qualquer linha D ', seja ela secante às quatro linhas ou paralela a uma delas (com a interpretação dada acima).

Esta propriedade, portanto, depende apenas da posição relativa das linhas da viga, e justifica que ela seja qualificada como harmônica. A propriedade permanece verdadeira (assim foi demonstrado) para uma secante paralela a uma das linhas do feixe, estendendo-se aos médiuns e apontando para o infinito a noção de divisão harmônica.

Provamos isso a partir da propriedade declarada na seção anterior: basta aplicá-la duas vezes, para cada uma das duas secantes, relativamente a dois paralelos do mesmo raio. Em seguida, concluímos com Thales.

No entanto, este é um caso particular de conservação de razões cruzadas, que pode ser demonstrado de maneira semelhante, consulte Feixe harmônico .

Também podemos ver esta propriedade como uma conservação da divisão harmônica por projeção cônica , o que justifica que se trate de uma noção de geometria projetiva .

Outras propriedades

Podemos mostrar que, no plano projetivo, a noção de feixe harmônico é a noção dual daquela de divisão harmônica. Mesmo que permaneçamos na geometria afim, encontramos propriedades análogas, começando com as das simetrias (diretamente, por definição). Também mostramos que:

Dadas três linhas concorrentes distintas a, bec, existe uma única linha d tal que (a, b, c, d) estão em divisão harmônica. A linha d é o conjugado harmônico de c em relação a a e b.

Com efeito, deixa ó ser o ponto de intersecção das três linhas de um , b e c . O direito de deve passar por O . De qualquer um e uma intersecção três linear em , b e c em três pontos Um B e C . Se B é o ponto médio de A e C , d é necessariamente o paralelo a e passando por O e esta linha é adequada, de acordo com a propriedade característica acima. Se B não é o ponto médio de A e C , seja D o conjugado harmônico de C em relação a A e B , a reta d é então necessariamente a reta ( OD ) e esta se ajusta pela propriedade característica.

Polar de um ponto em relação a duas linhas

Esta última propriedade será útil para definir a polar de um ponto em relação a duas retas . Mas primeiro vamos estender a definição de conjugado harmônico.

Definição. - Dadas duas linhas distintas de d e d ' e dois distintos pontos M e M' não localizadas nestas linhas, a linha ( MM ' ) encontra respectivamente d e d' em distinta P e P ' . Dizemos que M e M ' são conjugados harmônicos em relação a d e d' se [ M , M ' , P , P' ] formar uma divisão harmônica ( M e M ' são conjugados harmônicos em relação a P e P' ).

Proposta. - Dadas duas retas d e d distintas e concorrentes em um ponto I do plano afim e um ponto M não localizado nessas retas, o conjunto de conjugados harmônicos de M em relação a d e d 'é uma reta passando por I.

Na verdade qualquer ponto do conjugado harmônica da linha ( IM ) em relação a d e d 'é adequado, pela propriedade característica das vigas harmônicas. Por outro lado, se M ' é o conjugado de harmónica M com respeito a d e d' , ( d , d '( IM ), ( IM' )) é uma polia harmónica.

Definição. - Chamamos esta linha de polar do ponto M em relação às linhas d e d ' .

Construção do velo . - Dadas duas linhas distintas d e d , simultâneas em um ponto I , e um ponto M não localizado nessas linhas, coloque dois pontos P e Q , distintos de I , em d e desenhe as duas linhas ( MP ) e ( MQ ) . Os pontos P e Q devem ser escolhidos de tal forma que nem ( MP ) nem ( MQ ) sejam paralelos a d ' . Essas linhas se cruzam com d ' respectivamente em P' e Q ' . Δ Liso = ( PQ ' ) e Δ' = ( P'Q ) se intersectam em J . A linha ( IJ ) é a polar de M em relação a d e d ' .

De fato, se M 1 é o conjugado de M em relação a P e P ' e M 2 o conjugado de M em relação a Q e Q' , o polar de M em relação a d e d ' é a linha ( M 1 M 2 ); os pontos I , M 1 e M 2 estão, portanto, alinhados.
Da mesma forma, o polar de M em relação a Δ e Δ 'é a reta ( M 1 M 2 ); os pontos J , M 1 e M 2 estão, portanto, também alinhados e o polar de M em relação a d e d ' é de fato a reta ( IJ ).

Obtivemos uma figura de 4 lados, as retas d , d ' , Δ e Δ' que chamamos de quadrilátero completo , cujos vértices são os 6 pontos de intersecção dos 4 lados, I , P , P ' , J , Q e Q ' , e as 3 diagonais ( PP' ), ( QQ ' ) e ( IJ ). De fato, demonstramos de passagem uma propriedade famosa dos quadriláteros completos, a saber, que duas diagonais, por exemplo ( PP ' ) e ( IJ ) cortam a terceira, neste caso ( QQ' ), em dois pontos M e M 2 , então que ( Q , Q ' , H , H 2 ) é uma divisão harmónica.

Quadrilátero completo

A propriedade de quadriláteros completos vistos acima pode ser declarada como segue.

Cada uma das três diagonais de um quadrilátero completo é harmonicamente dividida pelas outras duas.

A demonstração feita no parágrafo anterior é transposta como está. Poderíamos facilmente ter demonstrado a propriedade para quadriláteros inteiros e usá-la para a construção do polar.

Alguns exemplos em geometria euclidiana

As bissetoras

Deduz-se imediatamente da primeira proposição declarada nas polias harmônicas (seção "construção geométrica"), que se quatro linhas concorrentes d , d ' , δ e δ' são tais que δ 'é o simétrico de δ comparado a d' e paralelo para d , então ( d , d ' , δ, δ') é um feixe harmônico e vice-versa (esta é na verdade apenas outra maneira de declarar esta proposição).

Na geometria euclidiana , tomando uma simetria ortogonal , obtemos o seguinte caso especial:

duas linhas d e d 'e suas duas bissetoras δ e δ' formam um feixe harmônico (d, d ', δ, δ').

Suponha agora que d e d ' são os dois lados resultantes de M de um triângulo ABM . Que atravessa o δ δ interior e exterior 'intersecta o lado ( AB ) em I e J . Portanto, temos que I e J dividem harmonicamente o segmento [ AB ].

Adaptado a este caso particular, a prova da propriedade seria feita pela construção de um paralelo à bissetriz externa passando por B (ou por A ). Tomemos a mesma prova novamente, mas construindo um paralelo ao lado ( MA ) passando por B , que, portanto, intercepta as duas bissetoras δ, δ 'em dois pontos I' e J 'de modo que B é o ponto médio de I' e J ' , uma vez que ( d , d' , δ, δ ') é um feixe harmônico. Devido ao fato de as duas bissetoras serem ortogonais, temos além disso, o triângulo I'MJ ' sendo retângulo em M, MB = BI' = I'B . Se quisermos começar do zero, nós também podemos deduzir isso a partir do fato de que, δ e δ 'sendo os bisectors de d e d' , por considerações sobre os ângulos, os dois triângulos I'BM e J'BM são isósceles em B .

Aplicando o teorema de Tales duas vezes como na prova inicial, obtemos então uma igualdade adicional:

${\ displaystyle {IA \ over IB} = {JA \ over JB} = {MA \ over MB}.}$

Deduzimos que, sendo dados dois pontos A e B , o conjunto de pontos M tal que a razão de comprimento MA / MB é constante diferente de 1 é um círculo de diâmetro [ IJ ], onde J e I dividem-se harmonicamente [ AB ]. Se a constante for k > 0, k ≠ 1, os pontos I e J são os únicos dois pontos da linha ( AB ), de modo que

${\ displaystyle {IA \ over IB} = {JA \ over JB} = k.}$

Demonstração

De fato, se MA / MB = k , de acordo com a igualdade precedente, as bissetoras do ângulo em M interceptam a linha ( AB ) em I e J que dividem harmonicamente [ AB ], e como as duas bissetoras são ortogonais, o ponto M está no círculo de diâmetro [ IJ ] (ver “ Círculo circunscrito ”).

Por outro lado, se M está no círculo de diâmetro [ IJ ], e diferente de I e J , o paralelo a ( MA ) passando por B cruza as retas ( MI ) e ( MJ ) em dois pontos que chamamos de I ' e J ' , e B é o ponto médio de I' e J ' , visto que ( A , B , I , J ) é uma divisão harmônica. O triângulo MI'J ' sendo retângulo em M , porque M está no círculo de diâmetro [ IJ ] (ver “ Círculo circunscrito ”), BM = BI' = BJ ' ; os triângulos MBI ' e MBJ' são então isósceles em B e, por paralelismo ( MI ) e ( MJ ), são as bissetoras em M do triângulo AMB . Em seguida, deduzimos que MA / MB = IA / IB = JA / JB = k .

O ponto H é fixo, este círculo é o círculo de Apolônio o triângulo ABM através M .

Linha de Euler

Ainda na geometria euclidiana, mostramos que em um triângulo, o centro do círculo circunscrito Ω, o centro de gravidade G , o ortocentro H e o centro do círculo de Euler E estão todos os quatro alinhados em uma linha conhecida como linha reta de Euler do triângulo, além disso, estão em divisão harmônica (nessa ordem). Isso resulta do fato de que H tem para a imagem Ω e Ω para a imagem E pela mesma homotetia com centro G e razão –1/2.

Círculos ortogonais, pontos conjugados

A definição pode ser estendida aos casos em que a linha ( MM ' ) não intercepta o círculo ( C ): dois pontos M e M' serão considerados conjugados em relação a um círculo ( C ) se o círculo de diâmetro [ MM ' ] é ortogonal a ( C ).

Propriedade. - Dois pontos são conjugados em relação a um círculo com centro O se e somente se:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} {\ overrightarrow {OM '}} = R ^ {2}.}

Seja O ' o ponto médio de [ MM' ] e, portanto, o centro do novo círculo, e T um ponto de intersecção entre os dois círculos, em particular OT 2 = R 2 . Usando isso, obtemos:

${\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} {\ overrightarrow {OM '}} = ({\ overrightarrow {OT}} + {\ overrightarrow {TO'}} + {\ overrightarrow {O'M '}}) ({ \ overrightarrow {OT}} + {\ overrightarrow {TO '}} + {\ overrightarrow {O'M}}) = R ^ {2} +2 \, {\ overrightarrow {OT}} {\ overrightarrow {O'T }}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {O'M}} = - {\ overrightarrow {O'M '}} \ right)}$

daí o resultado.

O conjunto de conjugados de um ponto em relação a um círculo é o polar deste ponto em relação ao referido círculo.

Observação

“ Relações harmônicas ” , em geogebra.org .

Bibliografia

Jean-Denis Eiden, Classical analytical geometry , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-91-635208-4 )
Bruno Ingrao, Projective, affine and metric cics, Calvage & Mounet ( ISBN 978-2-916352-12-1 )
Yves Ladegaillerie , geometria afim, projetiva, euclidiana e analagmática , elipses ,2003, 515 p. ( ISBN 978-2-7298-1416-8 ).