Eneagone

Enneagone regular


Modelo	Polígono regular
Arestas	9
Vértices	9

Símbolo Schläfli	{9}
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Grupo de simetria	grupo diédrico D 18
Ângulo interno	140 °

Um eneagono , ou nonagon , é um polígono com 9 vértices , ou seja, 9 lados e 27 diagonais .

A soma dos ângulos internos de um $eneaágono$ não $cruzado$ é $7π$ $radianos$ , ou 1260 graus .

Um eneagono regular é um eneagono cujos nove lados têm o mesmo comprimento e cujos ângulos internos têm a mesma medida. Existem três: dois com estrela (os eneagramas denotados {9/2} e {9/4} ) e um convexo , denotado {9}. É deste último que falamos quando falamos do "eneagone regular".

Características do eneagono regular

Se o lado tiver comprimento $a$ :

cada um dos 9 ângulos internos mede $7π / 9 rad$ = 140 °;
cada ângulo central mede $2π / 9 rad$ = 40 °;
o raio do círculo circunscrito é ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {2 \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {9}} \ right)}} ~;}$
o apótema (o raio do círculo inscrito ) é $( a / 2) cot (π / 9)$ ;
a área é igual a ${\ displaystyle {\ frac {9a ^ {2}} {4}} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {9}} \ right).}$

Construção de um eneagono regular

Um eneagono regular não é construtível com apenas uma régua (não marcada) e uma bússola , porque o número 9 não satisfaz a condição do teorema de Gauss-Wantzel . É, por outro lado, " by neusis ", com régua marcada e compasso.

Para construir um eneagono regular do qual um dos lados é o segmento AB, de comprimento u, procedemos da seguinte forma:

Chamemos D1 a linha que contém A e B.
Desenhe os círculos C1 com o centro A passando por B e o círculo C2 com o centro B passando por A. Esses dois círculos se cruzam em dois pontos E e F, sendo F o ponto do semiplano original D1 no qual queremos localizar o centro do eneagone.
Desenhe a linha D2 passando por E e F.
Desenhe o círculo C3 com o centro F passando por A.
Desenhe as linhas D3 e D4, passando por F e, respectivamente, por A e B.
Marque a regra com dois pontos X e Y espaçados por u iguais ao segmento AB que é o lado do triângulo equilátero.
Deslize a régua marcada girando em torno do ponto B e segurando a marca X em D3, com a marca Y entre X e B, até que a marca Y da régua esteja no círculo C3, em um ponto H. A marca X está então em um ponto G na linha D3.
Desenhe o círculo C4 com o centro B passando por G, e o círculo C5 com o centro G passando por B. Esses dois círculos se cruzam em I e J, sendo J o ponto localizado no semiplano original D5 contendo A.
Desenhe a linha D6 passando por I e J. Ela corta D2 em K.
Desenhe o círculo C6 com o centro K passando por A. Ele também passa por B, G e J.
C6 intercepta D2 em um ponto O no semiplano original D1 contendo K.
C6 cruza D4, C1 e C2, em pontos diferentes dos pontos A ou B, respectivamente em L, M e N.
Desenhe a linha D7 passando por K e H. Ela corta C6 em P no semiplano original D5 contendo N.
O polígono ABNPGOLJM é o eneagono desejado.

A demonstração completa é um pouco longa, mas está relacionada à geometria elementar.

Arquitetura

As muralhas de Palmanova , Itália , foram construídas pelos venezianos seguindo um plano circular onde os nove bastiões ocupam o topo de um eneagone regular.

Notas e referências

Denis Henrion , Mathematical Memoirs ,1613( leia online ) , p. 358.
Michel Chasles , Visão geral histórica sobre a origem e o desenvolvimento de métodos em geometria , M. Hayez,1837( leia online ) , p. 453, 480 e 484.
Methodical Encyclopedia , Mathematics , vol. 2, pág. 468 .
A palavra "nonagon" combina um prefixo latino e um sufixo grego.

Veja também

links externos

(en) Eric W. Weisstein , " Trigonometry Angles - Pi / 9 " , no MathWorld
Enneagone regular: construção aproximada em geogebratube .org (precisão 0,006%)
Construções aproximadas a um eneagone regular pelo IREM da Universidade de Montpellier 2
Parcela do eneagono (método aproximado) no sítio do castelo de Mézerville (precisão 1%)