Em álgebra geral , o expoente de um grupo é uma noção da teoria dos grupos .
Ele pode ser usado para provar o teorema de Kronecker sobre a estrutura de grupos abelianos finitos .
Corresponde a uma hipótese do problema de Burnside de 1902, sendo portanto encontrada no teorema de Burnside associado.
Seja G um grupo, com um elemento neutro denotado por e . Chamamos o expoente de G o menor inteiro estritamente positivo n , se existir, tal que
.Se não existe nenhum, dizemos que G tem um expoente infinito.
Esta definição é equivalente a: o expoente de G é o mínimo múltiplo comum das ordens dos elementos do grupo se todas essas ordens são finitas e admitem um limite superior comum, e infinito caso contrário.
Uma condição necessária (mas não suficiente) para que o expoente de um grupo seja finito é, portanto, que esse grupo seja torsional .
Observação Seja G sempre um grupo, com um elemento neutro anotado e . Os inteiros relativos n tais que x n = e para qualquer elemento x de G formam um subgrupo de ( Z , +), que, como qualquer subgrupo de ( Z , +), admite um gerador natural único (possivelmente zero). Se este gerador for diferente de zero, ele é igual ao expoente de G conforme definido acima. Se o gerador for zero, o expoente de G conforme definido acima é igual ao infinito. Alguns autores definem o expoente de G como o gerador natural em questão. Esta definição difere da anterior apenas no caso em que o expoente no primeiro sentido é infinito; neste caso, o expoente no segundo sentido é zero. Com a segunda definição, a característica de um campo é o expoente de seu grupo aditivo.JF Labarre, The Theory of Groups , PUF , 1978
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