Fatorial exponencial

Um fatorial exponencial é um número natural n elevado à potência n - 1 , que por sua vez é elevado à potência n - 2 , e assim por diante, ou seja ,  :

não(não-1)(não-2)⋯.{\ displaystyle n ^ {(n-1) ^ {(n-2) \ cdots}}.}

O fatorial exponencial também pode ser definido com a relação de recorrência

no0=1,nonão=nãononão-1.{\ displaystyle a_ {0} = 1, \ quad a_ {n} = n ^ {a_ {n-1}}.}

Os primeiros fatoriais exponenciais são 1 , 1 , 2 , 9 , 262 144, etc. Seguindo A049384 de OEIS . Então, por exemplo, 262 144 é um fatorial exponencial porque

262144=4321.{\ displaystyle 262 \, 144 = 4 ^ {3 ^ {2 ^ {1}}}.}

Os fatoriais exponenciais crescem muito mais rápido do que os fatoriais ou mesmo hiperfatoriais . O fator exponencial de 5 é 5 262 144 , que é aproximadamente 6,206 069 878 660 874 x 10 183 230 .

A soma dos inversos dos fatoriais exponenciais a partir de 1 é o número transcendente 1,611 114 925 808 376 736 111 1 ... A080219 .  

Como a tetração , não há atualmente nenhum método aceito de estender a função fatorial exponencial para valores reais e complexos , ao contrário da função fatorial, para a qual tal extensão é fornecida pela função gama .

Referências

• Jonathan Sondow, Mathworld "  Exponential Factorial  "