Função de Weierstrass

A função Weierstrass , também chamada de função Weierstrass-Hardy , foi em 1872 o primeiro exemplo publicado de uma função real de uma variável real que é contínua em todos os lugares, mas em nenhum lugar diferenciável . Devemos isso a Karl Weierstrass e Leopold Kronecker ; as hipóteses foram aprimoradas por G. H. Hardy .

Construção

Na verdade, é uma família de funções que depende de dois parâmetros, definidos como a soma de uma série trigonométrica por:

{\ displaystyle f_ {a, b} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ {n} \ cos (b ^ {n} \ pi x)}

$f _ {{a, b}}$ é contínua para , (convergência uniforme na série de funções, pelo critério de Weierstrass ). Este último também assumido $b$ inteiro ímpar verificação para provar não-derivabilidade em qualquer ponto. $0 <a <1$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle ab> 1 + {\ frac {3} {2}} \ pi}$

Hardy então provou que a hipótese é suficiente para que ela não seja diferenciável em nenhum ponto, mas a prova é visivelmente mais difícil. Podemos simplificar sua demonstração no caso . ${\ displaystyle ab \ geqslant 1}$ ${\ displaystyle ab> 1}$

Por outro lado, é classe para qualquer número inteiro assim . $f _ {{a, b}}$ $C ^ k$ $k$ ${\ displaystyle ab ^ {k} <1}$

Caráter fractal do gráfico de função

A função de Weierstrass é um dos primeiros fractais estudados, embora esse termo só tenha sido usado muito mais tarde. Em particular, essa função contínua não é, pois , monotônica em qualquer intervalo, por menor que seja. ${\ displaystyle ab \ geqslant 1}$

O cálculo da dimensão D de Hausdorff do gráfico da função de Weierstrass permaneceu um problema aberto até 2017 , embora Mandelbrot conjecturasse isso ; isso foi demonstrado independentemente pelos matemáticos alemães Gerhard Keller e pelo chinês Weixiao Shen (em) 30 anos depois. ${\ displaystyle D = 2 + \ log _ {b} a = 2 + {\ frac {\ ln a} {\ ln b}}}$

No entanto, a dimensão Minkowski-Bouligand (noção próxima à de Hausdorff, obtida pela contagem de sobreposições por quadrados disjuntos em vez de discos), já era conhecida desde a década de 1980 e agora sabemos que as duas são iguais.

Continuidade hölderiana

É conveniente escrever a função Weierstrass de maneira equivalente na forma:

{\ displaystyle W _ {\ alpha} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b ^ {- n \ alpha} \ cos (b ^ {n} \ pi x)}

com .

{\ displaystyle \ alpha = - \ ln a / \ ln b}

Então é α- Hölderian , ou seja, existe uma constante tal que ${\ displaystyle W _ {\ alpha}}$ $VS$

{\ displaystyle \ forall x, y \ | W _ {\ alpha} (x) -W _ {\ alpha} (y) | \ leq C | xy | ^ {\ alpha}}

Além disso, (portanto, para ) é Hölderiano para todas as ordens <1, mas não Lipschitziano, caso em que seria diferenciável em quase todos os lugares ( teorema de Rademacher ). $W_ {1}$ ${\ displaystyle ab = 1}$

Referências

(de) K. Weierstrass, “Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen”, gelesen in der Königl. Akademie der Wissenschaften am 18 Juli 1872, em Karl Weierstrass, Mathematische Werke, Abhandlungen II , Berlin, Mayer & Müller, 1895, p. 71-74 .
(en) GH Hardy, “ Weierstrass's nondifferentiable function ” , Trans. Amargo. Matemática. Soc. , vol. 17,1916, p. 301-325 ( ler online ).
A. Baouche e S. Dubuc, " The non-differentiable function Weierstrass " Mathematical Education , vol. 38,1992, p. 89-94 ( ler online ).
(em) Kenneth Falconer (em) , The Geometry of Fractal Sets , Cambridge, Cambridge University Press ,1985, 114, 149 p..
(em) Brian R. Hunt, " The Hausdorff dimension of graphs of Weierstrass functions " , Proc. AMS , vol. 126, n o 3,1998, p. 791-800 ( ler online ).
(em) Weixiao Shen , " dimensão de Hausdorff dos gráficos das funções clássicas de Weierstrass " , Mathematische Zeitschrift , vol. 289, n osso 1-2,2018, p. 223-266 ( DOI 10.1007 / s00209-017-1949-1 , arXiv 1505.03986 , ler online ).
Roger Mansuy, " Fractals: the devil is in the details " , no La Recherche ,abril de 2019.
(em) A. Zygmund , Trigonometric Series Vol. I, II , Cambridge Mathematical Library,2002, 3 e ed. ( 1 st ed. 1935), 747 p. ( ISBN 978-0-521-89053-3 , leitura online ) , p. 47.

Veja também

Link externo

“ Função Weierstrass ” , em www.desmos.com/calculator

Bibliografia