Função de referência
Em matemática, uma função de referência é uma função estudada por sua simplicidade, sua exemplaridade ou para servir de suporte para o estudo de uma família maior de funções.
As funções de referência mais frequentemente estudadas são funções lineares , funções de potência (incluindo função quadrada , às vezes estendida a todas as funções de segundo grau), a função trigonométrica (cosseno, seno), etc.
Divisão em funções de referência
Princípio
É possível decompor certas funções em funções de referência, expressando essa função como a soma ou a composição das funções de referência. Pode-se então usar os teoremas relativos ao composto e à soma de duas funções para conhecer as propriedades da função estudada.
Exemplo
Considere a função f definida em :
R+∗{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+ *}}
f(x)=1x2+x{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + {\ sqrt {x}}}}}É possível dividi-lo em funções de referência da seguinte maneira:
f=g∘(h+eu){\ displaystyle f = g \ circ (h + l)}onde g é a função inversa , h a função quadrada e l a função de raiz quadrada .
Usos
Derivação
Princípio
Podemos calcular a derivada de uma função por dividi-lo em funções de referência, utilizando as propriedades de operações em derivados, nomeadamente, entre outros, para todas as funções f e g diferenciável mais de um intervalo de I :
(f+g)′=f′+g′ {\ displaystyle (f + g) '= f' + g '~}
(fg)′=f′g+fg′ {\ displaystyle (fg) '= f'g + fg' ~}
e para qualquer função f diferenciável em I e qualquer função g diferenciável em f ( I )
(g∘f)′=(g′∘f)⋅f′{\ displaystyle (g \ circ f) '= (g' \ circ f) \ cdot f '}Por exemplo, a função f definida em :
R+∗{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+ *}}
f(x)=1x2+x{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + {\ sqrt {x}}}}}divide-se em funções de referência da seguinte forma:
f′=[g∘(h+eu)]′=[g′∘(h+eu)]×(h+eu)′{\ displaystyle f '= [g \ circ (h + l)]' = [g '\ circ (h + l)] \ times (h + l)'}
f′=[g′∘(h+eu)]×(h′+eu′){\ displaystyle f '= [g' \ circ (h + l)] \ times (h '+ l')}
Com:
h(x)=x2 {\ displaystyle h (x) = x ^ {2} ~} de onde
h′(x)=2x {\ displaystyle h '(x) = 2x ~}
eu(x)=x{\ displaystyle l (x) = {\ sqrt {x}}} de onde
eu′(x)=12x{\ displaystyle l '(x) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}}}
g(x)=1x{\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {x}}} de onde
g′(x)=-1x2{\ displaystyle g '(x) = {\ frac {-1} {x ^ {2}}}}
(h′+eu′)(x)=h′(x)+eu′(x)=2x+12x{\ displaystyle (h '+ l') (x) = h '(x) + l' (x) = 2x + {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}}}
(h+eu)(x)=x2+x{\ displaystyle (h + l) (x) = x ^ {2} + {\ sqrt {x}}}
g′∘(h+eu)=-1(x2+x)2{\ displaystyle g '\ circ (h + l) = {\ frac {-1} {(x ^ {2} + {\ sqrt {x}}) ^ {2}}}}
De onde :
f′(x)=-1(x2+x)2×(2x+12x){\ displaystyle f '(x) = {\ frac {-1} {(x ^ {2} + {\ sqrt {x}}) ^ {2}}} \ times (2x + {\ frac {1} { 2 {\ sqrt {x}}}})}
Integração
Princípio
Podemos calcular a integral de uma função f em um intervalo dividindo-a em funções de referência das quais conhecemos a integral e, em seguida, aplicando as propriedades das integrais, a saber:
∫nob(f(x)+g(x))dx=∫nobf(x)dx+∫nobg(x)dx{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} (f (x) + g (x)) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x + \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, \ mathrm {d} x}
∀λ∈R,∫nobλf(x)dx=λ∫nobf(x)dx{\ displaystyle \ forall \ lambda \ in \ mathbb {R}, \ int _ {a} ^ {b} \ lambda \, f (x) \, \ mathrm {d} x = \ lambda \, \ int _ { a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x}
No entanto, este método não se aplica a funções compostas .
Funções associadas a uma função de referência
Princípio
Diz-se que uma função está associada a uma função de referência assim que é obtida pela composição dessa função com funções afins.
Exemplos
- Qualquer função quadrática é uma função associada à função quadrada.
- A função f definida no par está associada à função inversa.R∖{-3}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ left \ {- 3 \ right \}}f(x)=-2x+3-1{\ displaystyle f (x) = {\ frac {-2} {x + 3}} - 1}
- A função g definida no par está associada à função de raiz quadrada.[1,+∞[{\ displaystyle [1, + \ infty [}g(x)=2x-1{\ displaystyle g (x) = 2 {\ sqrt {x-1}}}
Veja também
Artigos relacionados
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