Aplicação de identidade

Em matemática , em um determinado conjunto X , a aplicação de identidade ou a função de identidade é a aplicação que não tem efeito quando aplicada a um elemento: ela sempre retorna o valor que é usado como argumento. Formalmente, é o aplicativo

{{\ rm {id}}} _ {X} \ dois pontos X \ a X, x \ mapsto x.

O gráfico da identidade da aplicação é chamado a diagonal do produto cartesiano X x X . Para X igual ao conjunto de números reais , este gráfico é a primeira bissetriz do plano euclidiano .

Notações

A aplicação $id X$ também é conhecida $Id X$ . Quando não há ambigüidade no conjunto X em que estamos trabalhando, o denotamos como $id$ ou $Id$ .

Às vezes é anotado $1 X$ , mas esta última notação pode levar à confusão com a função de indicador de uma parte X de um conjunto.

Propriedades notáveis

Para qualquer mapa f de um conjunto X a um conjunto Y , temos:

f \ circ {\ mathrm {id}} _ {X} = f = {\ mathrm {id}} _ {Y} \ circ f

Em particular, o mapa de identidade é o elemento neutro do monóide dos mapas de X em si (fornecido com a composição de funções ), e do grupo simétrico de X (o grupo de bijeções de X em si).

Em álgebra linear

Se E é um espaço vetorial, então Id E é um mapa linear e seu determinante é 1.

Se X é um espaço vetorial de dimensão finita n , então a matriz que representa Id X é a matriz unitária I n .

A aplicação de identidade permite comparar duas topologias : em X , uma topologia τ 2 é mais fina que uma topologia τ 1 quando $id X$ é contínuo de ( X , τ 2 ) em ( X , τ 1 ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">