Função simétrica
Em matemática , uma função simétrica é uma função invariante por permutação de suas variáveis. O caso mais frequente é o de uma função polinomial simétrica, dada por um polinômio simétrico .
Definição
Uma função no n variáveis é simétrica , se por qualquer permutação s do conjunto de índices {1, ..., n }, a seguinte igualdade é válida:
f(x1,...,xnão){\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}
f(x1,...,xnão)=f(xs(1),...,xs(não)).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = f (x_ {s (1)}, \ dots, x_ {s (n)}).}Para n = 1, qualquer função é simétrica. Para n = 2, a função é simétrica, enquanto a função não é.
(x,y)↦exy{\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ mathrm {e} ^ {xy}}xey{\ displaystyle x \ operatorname {e} ^ {y}}
Uma equação é uma equação simétrica quando a função é simétrica.
f(x1,...,xnão)=0{\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0}f(x1,...,xnão){\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}
Exemplos
As funções
f(x1,x2)=x1+x2{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + x_ {2}} e
f(x1,x2)=x1x2{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} x_ {2}}
são simétricos. O discriminante em três variáveis
f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} (x_ {1} -x_ {3}) ^ {2 } (x_ {2} -x_ {3}) ^ {2}}também é simétrico. Um exemplo de função simétrica, sempre em três variáveis, que não é um polinômio é
f(x1,x2,x3)=max{|x1-x2|,|x1-x3|,|x2-x3|}{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ max \ {| x_ {1} -x_ {2} |, | x_ {1} -x_ {3} |, | x_ {2} -x_ {3} | \}}.
Verificação
Para verificar se uma função é simétrica, não é necessário testar se ela é invariante para cada um dos n ! permutações de seus argumentos. Basta escolher um conjunto de permutações que gera o grupo simétrico , e temos várias opções para tais conjuntos.
Trocas de duas variáveis
Como qualquer permutação é um composto de transposições da forma , uma função é simétrica assim que permanece inalterada pela troca de duas variáveis arbitrárias e , portanto, quando
(eu,j){\ displaystyle (i, j)}xeu{\ displaystyle x_ {i}}xj{\ displaystyle x_ {j}}
f(...,xeu,...,xj,...)=f(...,xj,...,xeu,...){\ displaystyle f (\ dotsc, x_ {i}, \ dotsc, x_ {j}, \ dotsc) = f (\ dotsc, x_ {j}, \ dotsc, x_ {i}, \ dotsc)}para tudo com . Isso reduz o número de permutações a serem testadas .
eu,j∈{1,...,não}{\ displaystyle i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}}eu<j{\ displaystyle i <j}não2{\ displaystyle n ^ {2}}
Trocas de variáveis consecutivas
Como qualquer transposição também se expressa como um composto de transposições de valores consecutivos da forma , basta considerar variáveis consecutivas e . Para simetria, é suficiente que as n - 1 igualdades
(eu,eu+1){\ displaystyle (i, i + 1)}xeu{\ displaystyle x_ {i}}xeu+1{\ displaystyle x_ {i + 1}}
f(...,xeu,xeu+1,...)=f(...,xeu+1,xeu,...){\ displaystyle f (\ dotsc, x_ {i}, x_ {i + 1}, \ dotsc) = f (\ ldots, x_ {i + 1}, x_ {i}, \ dotsc)}são válidos para .
eu=1,...,não-1{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n-1}
Trocas com uma variável fixa
Podemos também considerar as transposições da forma . Uma função é então simétrica quando se pode trocar a primeira e a -ésima variável sem alterar o valor da função, em outras palavras, quando
(1,eu){\ displaystyle (1, i)}eu{\ displaystyle i}
f(x1,...,xeu,...)=f(xeu,...,x1,...){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dotsc, x_ {i}, \ dotsc) = f (x_ {i}, \ dotsc, x_ {1}, \ dotsc)}para . Em vez da primeira variável, você pode escolher qualquer outra variável.
eu=2,...,não{\ displaystyle i = 2, \ ldots, n}
Critério mínimo
Um grupo gerador do grupo simétrico é formado a partir das duas permutações e . É, portanto, suficiente, para uma função ser simétrica, que ela satisfaça apenas as duas igualdades
Snão{\ displaystyle S_ {n}}(1,2,...,não){\ displaystyle (1,2, \ ldots, n)}(1,2){\ displaystyle (1,2)}
f(x1,x2,...,xnão)=f(x2,...,xnão,x1){\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {n}) = f (x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {1})}e
f(x1,x2,...,xnão)=f(x2,x1,...,xnão){\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {n}) = f (x_ {2}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}.
O par formado por e também pode ser substituído por qualquer permutação circular e qualquer transposição de elementos consecutivos neste ciclo.
(1,2,...,não){\ displaystyle (1,2, \ ldots, n)}(1,2){\ displaystyle (1,2)}
Propriedades
Quando as funções têm valores reais ou complexos, as funções simétricas formam uma subálgebra da álgebra de funções com n variáveis, ou seja:
- a soma de duas funções simétricas ainda é uma função simétrica;
- o produto de duas funções simétricas ainda é uma função simétrica.
Qualquer fração racional simétrica (sobre um campo comutativo ) é o quociente de dois polinômios simétricos.
Demonstração
Let Ser uma fração racional simétrica.
F=PQ∈K(X1,...,Xnão){\ displaystyle F = {\ frac {P} {Q}} \ in K (X_ {1}, \ dots, X_ {n})}
Para qualquer permutação , observe .
s∈Snão{\ displaystyle s \ in S_ {n}}Qs(X1,...,Xnão)=Q(Xs(1),...,Xs(não)){\ displaystyle Q ^ {s} (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) = Q (X_ {s (1)}, \ dots, X_ {s (n)})}
O polinômio é, portanto, simétrico (que é um polinômio) também é, e .
D: =∏s∈SnãoQs{\ displaystyle D: = \ prod _ {s \ in S_ {n}} Q ^ {s}}NÃO: =FD{\ displaystyle N: = FD}F=NÃOD{\ displaystyle F = {\ frac {N} {D}}}
Simetrização
Em um campo de característica 0, a simetrização é a soma de uma função em todas as permutações possíveis de variáveis, ponderadas por n ! Esta é a expressão
Sf(x1,...,xnão)=1não!∑s∈Snãof(xs(1),...,xs(não)){\ displaystyle Sf (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {s \ in S_ {n}} f (x_ {s (1) }, \ dotsc, x_ {s (n)})}.
Por construção, a função é simétrica. O operador de simetrização é uma projeção do espaço de funções no subespaço de funções simétricas.
Sf{\ displaystyle Sf}S{\ displaystyle S}
Extensões
O teorema polinomial simétrico fundamental , ou teorema de Newton , afirma que qualquer polinômio simétrico é um polinômio de polinômios simétricos elementares ; estende-se a séries formais . Resultados semelhantes são válidos para funções contínuas , as funções holomórficas e funções suaves (funções ). Nós temos
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
f(x1,...,xnão)=g(σ1(x1,...,xnão),...,σnão(x1,...,xnão)){\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = g (\ sigma _ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \ ldots, \ sigma _ {n } (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}))},
onde são as funções simétricas elementares.
σeu{\ displaystyle \ sigma _ {i}}
De forma mais geral, seja um grupo compacto operando linearmente , e sejam operadores homogêneos gerando o anel de invariantes . Ou o aplicativo correspondente. Então, o aplicativo
G{\ displaystyle G}Rnão{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}ρ1,...,ρm{\ displaystyle \ rho _ {1}, \ ldots, \ rho _ {m}}R[x1,...,xnão]G{\ displaystyle \ mathbb {R} [x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}] ^ {G}}ρ:Rnão→Rm{\ displaystyle \ rho: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}x↦(ρ1(x),...,ρm(x)){\ displaystyle x \ mapsto (\ rho _ {1} (x), \ dotsc, \ rho _ {m} (x))}
ρ∗:VS∞(Rm)→VS∞(Rnão)G{\ displaystyle \ rho ^ {*}: C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {m}) \ para C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {G} }é sobrejetiva, que é o teorema fundamental para funções suaves invariantes. Este resultado é baseado no teorema de preparação de Malgrange , que é um análogo do teorema de preparação de Weierstrass .
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
Notas e referências
(de) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente de um artigo da Wikipedia em
alemão intitulado
“ Symmetrische Funktion ” ( ver lista de autores ) .
-
N. Bourbaki , Álgebra : capítulos 4 a 7 , Springer ,2007( leia online ) , p. IV.57 e seguintes.
-
Georges Glaeser , “ Differentiable Composite functions ”, Ann. da matemática. , vol. 77, n o 21963, p. 193-209 ( revisões de matemática 0143058 , zbMATH 0106.31302 ) .
-
(em) Gerald W. Schwartz, " Funções suaves invariantes sob as ações de um grupo de Lie compacto " , Topologia , vol. 14,1975, p. 63-68 ( revisões de matemática 0370643 , zbMATH 0297.57015 ).
Apêndices
Artigo relacionado
Álgebra simétrica
links externos
Bibliografia
- Pierre Cartier , “ A teoria clássica e moderna das funções simétricas ”, Séminaire Bourbaki , n o 597, 1982-1983, p. 1-23 ( ler online )
- (en) M. Golubitsky (en) e V. Guillemin , Stable Mappings and their Singularities , Springer , coll. " GTM " ( n o 14)1973, x + 209 pág. ( Math Reviews 0341518 , zbMATH 0294.58004 ) , p. 108 e seguintes.
- Serge Lang , Algebra [ detalhe das edições ]
- (pt) BL van der Waerden , Álgebra I , Springer,2003, 265 p. ( ISBN 978-0-387-40624-4 , leia online )
- (pt) BL van der Waerden , Álgebra II ,2003, 284 p. ( ISBN 978-0-387-40625-1 , leia online )
- (pt) Ian G. Macdonald , Symmetric Functions and Hall Polynomials , Oxford University Press , col. "Oxford Mathematical Monographs",1979( ISBN 0-19-853530-9 )
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