Fórmula de Faulhaber
Na matemática , a fórmula de Faulhaber , batizada em homenagem a Johann Faulhaber , expressa a soma
∑k=1nãokp=1p+2p+3p+⋯+nãop(para não∈NÃO e p∈NÃO){\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = 1 ^ {p} + 2 ^ {p} + 3 ^ {p} + \ cdots + n ^ {p} \ qquad \ esquerda ({\ mbox {para}} n \ in \ mathbb {N} {\ text {e}} p \ in \ mathbb {N} \ right)}
por uma função polinomial de grau p + 1 em n , os coeficientes envolvendo os números de Bernoulli :B2=16,B4=-130,B6=142...{\ displaystyle B_ {2} = {\ tfrac {1} {6}}, \ quad B_ {4} = - {\ tfrac {1} {30}}, \ quad B_ {6} = {\ tfrac {1 } {42}} \ ldots}
∑k=1nãokp=1p+1(nãop+1+12(p+1)nãop+16(p+12)nãop-1-130(p+14)nãop-3+142(p+16)nãop-5+...+(p+1)Bpnão){\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {1} {p + 1}} \ left (n ^ {p + 1} + {\ frac {1} {2}} (p + 1) {n ^ {p}} + {\ frac {1} {6}} {p + 1 \ escolha 2} {n ^ {p-1}} - {\ frac {1 } {30}} {p + 1 \ escolha 4} {n ^ {p-3}} + {\ frac {1} {42}} {p + 1 \ escolha 6} {n ^ {p-5}} + \ ldots + (p + 1) B_ {p} n \ right)}.
Os coeficientes que aparecem são os coeficientes binomiais (também observado ).
(p+1j){\ displaystyle \ textstyle {p + 1 \ escolher j}}VSp+1j{\ displaystyle \ mathrm {C} _ {p + 1} ^ {j}}
Declaração da fórmula
Na convenção mais comum, os números de Bernoulli são B0=1,B1=-12,B2=16,B3=0,B4=-130...{\ displaystyle B_ {0} = 1, \ quad B_ {1} = - {\ tfrac {1} {2}}, \ quad B_ {2} = {\ tfrac {1} {6}}, \ quad B_ {3} = 0, \ quad B_ {4} = - {\ tfrac {1} {30}} \ quad \ dots}
No artigo, seguiremos uma convenção vista com menos frequência, com todos os outros números de Bernoulli permanecendo como acima.
B1=+12{\ displaystyle B_ {1} = + {\ tfrac {1} {2}}}
A fórmula de Faulhaber é escrita (com e ):p∈NÃO{\ displaystyle p \ in \ mathbb {N}}não∈NÃO{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}
∑k=1nãokp=1p+1∑j=0p(p+1j)Bjnãop+1-j{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolher j} B_ {j} n ^ {p + 1-j}}(com em vez de ).
B1=12{\ displaystyle B_ {1} = {\ tfrac {1} {2}}}-12{\ displaystyle - {\ tfrac {1} {2}}}
Faulhaber não conhecia a fórmula desta forma, que foi descoberta por Jacques Bernoulli , e que é um caso especial da fórmula de Euler-MacLaurin . Ele conhecia pelo menos a expressão nos primeiros 17 casos, e o fato de que, quando o expoente é ímpar, a soma é uma função polinomial da soma no caso particular em que o expoente é 1. Em seus cálculos, ele deve lidar com o fatorial n ! até 24!, que ilustra seu notável talento como calculadora, que ele compartilha com seu correspondente Ludolph van Ceulen . Ele é notável acima de tudo por sua antecipação de somas múltiplas discretas em um momento em que a análise está gaguejando. Ele usa k- simetria e também fornece algumas generalizações notáveis.
Exemplos
10+20+30+⋯+não0=não{\ displaystyle 1 ^ {0} + 2 ^ {0} + 3 ^ {0} + \ cdots + n ^ {0} = n}1+2+3+⋯+não=não2+não2=não(não+1)2{\ displaystyle 1 + 2 + 3 + \ cdots + n = {n ^ {2} + n \ over 2} = {n (n + 1) \ over 2}}12+22+32+⋯+não2=2não3+3não2+não6=não(não+1)(2não+1)6{\ displaystyle 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + \ cdots + n ^ {2} = {2n ^ {3} + 3n ^ {2} + n \ over 6} = { n (n + 1) (2n + 1) \ em 6}}13+23+33+⋯+não3=não4+2não3+não24=não2(não+1)24{\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ cdots + n ^ {3} = {n ^ {4} + 2n ^ {3} + n ^ {2} \ over 4} = {n ^ {2} (n + 1) ^ {2} \ em 4}}14+24+34+⋯+não4=6não5+15não4+10não3-não30=não(não+1)(2não+1)(3não2+3não-1)30{\ displaystyle 1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + \ cdots + n ^ {4} = {6n ^ {5} + 15n ^ {4} + 10n ^ {3} -n \ over 30} = {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ {2} + 3n-1) \ over 30}}15+25+35+⋯+não5=2não6+6não5+5não4-não212=não2(não+1)2(2não2+2não-1)12{\ displaystyle 1 ^ {5} + 2 ^ {5} + 3 ^ {5} + \ cdots + n ^ {5} = {2n ^ {6} + 6n ^ {5} + 5n ^ {4} -n ^ {2} \ over 12} = {n ^ {2} (n + 1) ^ {2} (2n ^ {2} + 2n-1) \ over 12}}16+26+36+⋯+não6=6não7+21não6+21não5-7não3+não42=não(não+1)(2não+1)(3não4+6não3-3não+1)42{\ displaystyle 1 ^ {6} + 2 ^ {6} + 3 ^ {6} + \ cdots + n ^ {6} = {6n ^ {7} + 21n ^ {6} + 21n ^ {5} -7n ^ {3} + n \ over 42} = {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ {4} + 6n ^ {3} -3n + 1) \ over 42}}
Outra forma
Podemos ver a fórmula declarada com termos variando de 0 a n - 1 em vez de 1 a n . Nesse caso, a única coisa que muda é que consideramos B 1 = −1/2 em vez de +1/2, de modo que o segundo termo de grau mais alto em cada caso tem um sinal menos em vez de um sinal mais.
∑k=0não-1kp=1p+1∑j=0p(p+1j)Bjnãop+1-j{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k ^ {p} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolher j } B_ {j} n ^ {p + 1-j}}(com ).
B1=-12{\ displaystyle B_ {1} = - {\ tfrac {1} {2}}}
A fórmula é válida para todos os números naturais p e n (incluindo para p = 0, com 0 0 = 1 ):
00+10+20+30+⋯+(não-1)0=não{\ displaystyle 0 ^ {0} + 1 ^ {0} + 2 ^ {0} + 3 ^ {0} + \ cdots + (n-1) ^ {0} = n}
0+1+2+3+⋯+(não-1)=não2-não2{\ displaystyle 0 + 1 + 2 + 3 + \ cdots + (n-1) = {n ^ {2} -n \ over 2}}
0+1+22+32+⋯+(não-1)2=2não3-3não2+não6{\ displaystyle 0 + 1 + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + \ cdots + (n-1) ^ {2} = {2n ^ {3} -3n ^ {2} + n \ over 6} }
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0+1+23+33+⋯+(não-1)3=não4-2não3+não24{\ displaystyle 0 + 1 + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ cdots + (n-1) ^ {3} = {n ^ {4} -2n ^ {3} + n ^ {2} \ over 4}}
0+1+24+34+⋯+(não-1)4=6não5-15não4+10não3-não30{\ displaystyle 0 + 1 + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + \ cdots + (n-1) ^ {4} = {6n ^ {5} -15n ^ {4} + 10n ^ {3} -n \ mais de 30}}
0+1+25+35+⋯+(não-1)5=2não6-6não5+5não4-não212{\ displaystyle 0 + 1 + 2 ^ {5} + 3 ^ {5} + \ cdots + (n-1) ^ {5} = {2n ^ {6} -6n ^ {5} + 5n ^ {4} -n ^ {2} \ sobre 12}}
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Relação com polinômios de Bernoulli
Podemos escrever (para números naturais p e n ):
Snãop=∑k=0nãokp=Bp+1(não+1)-Bp+1(0)p+1{\ displaystyle S_ {n} ^ {p} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {B_ {p + 1} (n + 1) -B_ {p + 1} (0)} {p + 1}}},
onde está o polinômio de Bernoulli de classificação p .
Bp(X){\ displaystyle B_ {p} (X)}
B0(X)=1{\ displaystyle B_ {0} (X) = 1}
B1(X)=X-12{\ displaystyle B_ {1} (X) = X - {\ tfrac {1} {2}}}
B2(X)=X2-X+16{\ displaystyle B_ {2} (X) = X ^ {2} -X + {\ tfrac {1} {6}}}
B3(X)=X3-32X2+12X{\ displaystyle B_ {3} (X) = X ^ {3} - {\ tfrac {3} {2}} X ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} X}
Temos , número de Bernoulli de classificação p (com ).
Bp(0)=Bp{\ displaystyle B_ {p} (0) = B_ {p}}B1(0)=-12{\ displaystyle B_ {1} (0) = - {\ tfrac {1} {2}}}
Isso ocorre porque (1).
Bp+1(X+1)-Bp+1(X)=(p+1)Xp{\ displaystyle B_ {p + 1} (X + 1) -B_ {p + 1} (X) = (p + 1) X ^ {p}}
Na verdade, por telescopagem ,
NO=∑k=0não(Bp+1(k+1)-Bp+1(k))=Bp+1(não+1)-Bp+1(0){\ displaystyle A = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (B_ {p + 1} (k + 1) -B_ {p + 1} (k)) = B_ {p + 1} (n + 1) -B_ {p + 1} (0)}
e por (1) , daí a fórmula.
NO=(p+1)∑k=0nãokp=(p+1)Snãop{\ displaystyle A = (p + 1) \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p} = (p + 1) S_ {n} ^ {p}}
Forma simbólica
No cálculo ombral clássico, tratamos formalmente os índices j em uma sequência B j como se fossem expoentes, ou seja, neste caso, aplicamos a fórmula binomial de Newton , que dá
∑k=1nãokp=1p+1∑j=0p(p+1j)Bjnãop+1-j=1p+1∑j=0p(p+1j)Bjnãop+1-j=(B+não)p+1-Bp+1p+1{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolher j} B_ {j} n ^ {p + 1-j} = {1 \ sobre p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolha j} B ^ {j} n ^ {p + 1-j} = {(B + n) ^ {p + 1} -B ^ {p + 1} \ sobre p + 1}}.
No cálculo ombral "moderno", consideramos a forma linear T no espaço vetorial de polinômios da variável b dada por
T(bj)=Bj{\ displaystyle T (b ^ {j}) = B_ {j}}.
Podemos então escrever
∑k=1nãokp=1p+1∑j=0p(p+1j)Bjnãop+1-j=1p+1∑j=0p(p+1j)T(bj)nãop+1-j{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolher j} B_ {j} n ^ {p + 1-j} = {1 \ sobre p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolha j} T (b ^ {j}) n ^ {p + 1-j}}=1p+1T(∑j=0p(p+1j)bjnãop+1-j)=T((b+não)p+1-bp+1p+1).{\ displaystyle = {1 \ over p + 1} T \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolher j} b ^ {j} n ^ {p + 1-j} \ right) = T \ left ({(b + n) ^ {p + 1} -b ^ {p + 1} \ over p + 1} \ right).}
Polinômios de Faulhaber
A frase “polinômios de Faulhaber” é usada por alguns autores para se referir a uma entidade diferente da sequência de polinômios dada acima.
Faulhaber observou (sem dar qualquer prova) que se p for ímpar, então
1p+2p+3p+⋯+nãop{\ displaystyle 1 ^ {p} + 2 ^ {p} + 3 ^ {p} + \ cdots + n ^ {p}}é uma função polinomial de
y=1+2+3+⋯+não=não2+não2{\ displaystyle y = 1 + 2 + 3 + \ cdots + n = {n ^ {2} + n \ over 2}}.
Em particular
13+23+33+⋯+não3=y2{\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ cdots + n ^ {3} = y ^ {2}}15+25+35+⋯+não5=4y3-y23{\ displaystyle 1 ^ {5} + 2 ^ {5} + 3 ^ {5} + \ cdots + n ^ {5} = {4y ^ {3} -y ^ {2} \ over 3}}
17+27+37+⋯+não7=6y4-4y3+y23{\ displaystyle 1 ^ {7} + 2 ^ {7} + 3 ^ {7} + \ cdots + n ^ {7} = {6y ^ {4} -4y ^ {3} + y ^ {2} \ over 3}}
(e portanto )
15+25+35+⋯+não5+17+27+37+⋯+não7=2y4{\ displaystyle 1 ^ {5} + 2 ^ {5} + 3 ^ {5} + \ cdots + n ^ {5} + 1 ^ {7} + 2 ^ {7} + 3 ^ {7} + \ cdots + n ^ {7} = 2a ^ {4}}19+29+39+⋯+não9=16y5-20y4+12y3-3y25{\ displaystyle 1 ^ {9} + 2 ^ {9} + 3 ^ {9} + \ cdots + n ^ {9} = {16y ^ {5} -20y ^ {4} + 12y ^ {3} -3y ^ {2} \ over 5}}111+211+311+⋯+não11=16y6-32y5+34y4-20y3+5y23{\ displaystyle 1 ^ {11} + 2 ^ {11} + 3 ^ {11} + \ cdots + n ^ {11} = {16y ^ {6} -32y ^ {5} + 34y ^ {4} -20y ^ {3} + 5y ^ {2} \ over 3}}Alguns autores chamam esses polinômios , com , “polinômios de Faulhaber”; Donald Knuth deu demonstrações desses resultados (e outros generalizando-os ainda mais) usando apenas métodos que Faulhaber havia dominado.
P(y){\ displaystyle P (y)}y=não(não+1)2{\ displaystyle y = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}
Expressão usando números de Stirling de segundo tipo.
Para tudo , temos a relação:
p⩾1{\ displaystyle p \ geqslant 1}
∑k=0nãokp=∑eu=1pS(p,eu)eu+1(não+1)eu+1{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} {\ frac {S (p, i)} {i + 1}} (n + 1) _ {i + 1}}
onde são os números de Stirling do segundo tipo (número de partições em i partes de um conjunto com p elementos) e ( símbolo de Pochhammer ).
S(p,eu){\ displaystyle S (p, i)}(não+1)eu+1=(não+1)(não)...(não+1-eu){\ displaystyle (n + 1) _ {i + 1} = (n + 1) (n) ... (n + 1-i)}
Por exemplo , e .∑k=0nãok=12(não+1)não{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k = {\ frac {1} {2}} (n + 1) n}∑k=0nãok2=12(não+1)não+13(não+1)não(não-1){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {1} {2}} (n + 1) n + {\ frac {1} {3}} (n + 1) n (n-1)}
Demonstração
Usamos caracterização algébrica∑eu=1pS(p,eu)(X)eu=Xp{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {p} S (p, i) (X) _ {i} = X ^ {p}} .
Então .
∑k=0nãokp=∑k=0não∑eu=1pS(p,eu)(k)eu=∑eu=1pS(p,eu)∑k=0não(k)eu{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sum _ {i = 1} ^ {p} S (p, i ) (k) _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} S (p, i) \ sum _ {k = 0} ^ {n} (k) _ {i}}
Ou então pelo telescópio . Obtemos assim a fórmula anunciada.
(k)eu=1eu+1((k+1)eu+1-(k)eu+1){\ displaystyle (k) _ {i} = {\ frac {1} {i + 1}} ((k + 1) _ {i + 1} - (k) _ {i + 1})}∑k=0não(k)eu=1eu+1((não+1)eu+1-0){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} (k) _ {i} = {\ frac {1} {i + 1}} ((n + 1) _ {i + 1} -0) }
Relações de recorrência ligando essas somas
Relação de recorrência forte ( Pascal 1655)
As somas podem ser calculadas passo a passo graças à relação:Snãop=∑k=0nãokp{\ displaystyle S_ {n} ^ {p} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p}}
(p+1)Snãop=(não+1)p+1-∑q=0p-1(p+1q)Snãoq{\ displaystyle (p + 1) S_ {n} ^ {p} = (n + 1) ^ {p + 1} - \ sum _ {q = 0} ^ {p-1} {\ binom {p + 1 } {q}} S_ {n} ^ {q}}.
Na verdade, por telescopagem : e pelo teorema binomial , daí a fórmula anunciada.
∑k=0não((k+1)p+1-kp+1)=(não+1)p+1{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} ((k + 1) ^ {p + 1} -k ^ {p + 1}) = (n + 1) ^ {p + 1}}∑k=0não((k+1)p+1-kp+1)=∑k=0não∑q=0p(p+1q)kq=∑q=0p(p+1q)∑k=0nãokq=(p+1)Snãop+∑q=0p-1(p+1q)Snãoq{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} ((k + 1) ^ {p + 1} -k ^ {p + 1}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ soma _ {q = 0} ^ {p} {\ binom {p + 1} {q}} k ^ {q} = \ sum _ {q = 0} ^ {p} {\ binom {p + 1} { q}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {q} = (p + 1) S_ {n} ^ {p} + \ sum _ {q = 0} ^ {p-1} { \ binom {p + 1} {q}} S_ {n} ^ {q}}
Observe isso aqui ;
Snão0=00+10+20+30+⋯+não0=não+1{\ displaystyle S_ {n} ^ {0} = 0 ^ {0} + 1 ^ {0} + 2 ^ {0} + 3 ^ {0} + \ cdots + n ^ {0} = n + 1}
então ,
2Snão1=(não+1)2-(não+1)=não(não+1){\ displaystyle 2S_ {n} ^ {1} = (n + 1) ^ {2} - (n + 1) = n (n + 1)}
então , etc ...
3Snão2=(não+1)3-(não+1)-3não(não+1)/2=não+12(2não2+4não+2-2-3não)=não(não+1)(2não+1)2{\ displaystyle 3S_ {n} ^ {2} = (n + 1) ^ {3} - (n + 1) -3n (n + 1) / 2 = {\ frac {n + 1} {2}} ( 2n ^ {2} + 4n + 2-2-3n) = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {2}}}
Relação de recorrência forte em Snão2p+1{\ displaystyle S_ {n} ^ {2p + 1}}
Está escrito
2(p+1)Snão2p+1=(não(não+1))p+1-2∑1⩽q⩽p/2(p+12q+1)Snão2p+1-2q{\ displaystyle 2 (p + 1) S_ {n} ^ {2p + 1} = (n (n + 1)) ^ {p + 1} -2 \ sum _ {1 \ leqslant q \ leqslant p / 2} {\ binom {p + 1} {2q + 1}} S_ {n} ^ {2p + 1-2q}}.
A demonstração é semelhante à anterior:
Demonstração
Por telescópica: ,
NOnão=∑k=1não((k(k+1))p+1-(k(k-1))p+1)=(não(não+1))p+1{\ displaystyle A_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} ((k (k + 1)) ^ {p + 1} - (k (k-1)) ^ {p + 1} ) = (n (n + 1)) ^ {p + 1}}
e pela fórmula binomial , ,
NOnão=∑k=1nãokp+1∑q=0p+1(p+1q)(1-(-1)q))kp+1-q=∑k=1nãokp+1∑0⩽2q+1⩽p+1p+1(p+12q+1)2kp+1-2q-1{\ displaystyle A_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p + 1} \ sum _ {q = 0} ^ {p + 1} {\ binom {p + 1} { q}} (1 - (- 1) ^ {q})) k ^ {p + 1-q} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p + 1} \ sum _ {0 \ leqslant 2q + 1 \ leqslant p + 1} ^ {p + 1} {\ binom {p + 1} {2q + 1}} 2k ^ {p + 1-2q-1}}
portanto , daí a fórmula anunciada.
NOnão=∑0⩽2q+1⩽p+1∑k=1não(p+12q+1)2k2p+1-2q=∑0⩽q⩽p/2(p+12q+1)2Snão2p+1-2q=2(p+1)Snão2p+1+2∑1⩽q⩽p/2(p+12q+1)Snão2p+1-2q{\ displaystyle A_ {n} = \ sum _ {0 \ leqslant 2q + 1 \ leqslant p + 1} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {p + 1} {2q + 1}} 2k ^ {2p + 1-2q} = \ sum _ {0 \ leqslant q \ leqslant p / 2} {\ binom {p + 1} {2q + 1}} 2S_ {n} ^ {2p + 1-2q} = 2 (p + 1) S_ {n} ^ {2p + 1} +2 \ sum _ {1 \ leqslant q \ leqslant p / 2} {\ binom {p + 1} {2q + 1}} S_ {n } ^ {2p + 1-2q}}
Fazendo isso , obtemos, por exemplo, diretamente isso .
p=1{\ displaystyle p = 1}4Snão3=(não(não+1))2{\ displaystyle 4S_ {n} ^ {3} = (n (n + 1)) ^ {2}}
E essa relação permite mostrar que é um polinômio de grau en .
Snão2p+1{\ displaystyle S_ {n} ^ {2p + 1}}p+1{\ displaystyle p + 1}não(não+1){\ displaystyle n (n + 1)}
Expressão matricial das fórmulas de Faulhaber
Para qualquer quantia
Semelhante ao cálculo da relação de Pascal acima, calculando a soma de duas maneiras , obtemos a relação:∑k=1não(keu-(k-1)eu){\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} (k ^ {i} - (k-1) ^ {i})}
∑j=1eu(-1)eu+j(euj-1)Snãoj-1=nãoeu{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {i} (- 1) ^ {i + j} {\ binom {i} {j-1}} S_ {n} ^ {j-1} = n ^ {eu}}.
Essas relações para i de 1 a p constituem um sistema triangular do qual são soluções .
Snão0,Snão1,⋯,Snãop-1{\ displaystyle S_ {n} ^ {0}, S_ {n} ^ {1}, \ cdots, S_ {n} ^ {p-1}}
Se for a matriz quadrada triangular inferior de ordem p definida por , o sistema é escrito
NOp{\ displaystyle A_ {p}}NOp(eu,j)=(-1)eu+j(euj-1){\ displaystyle A_ {p} (i, j) = (- 1) ^ {i + j} {\ binom {i} {j-1}}}
NOp(Snão0Snão1⋯Snãop-1)=(nãonão2⋯nãop){\ displaystyle A_ {p} {\ begin {pmatrix} S_ {n} ^ {0} \\ S_ {n} ^ {1} \\\ cdots \\ S_ {n} ^ {p-1} \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} n \\ n ^ {2} \\\ cdots \\ n ^ {p} \ end {pmatrix}}} ; nós deduzimos disso .
(Snão0Snão1⋯Snãop-1)=NOp-1(nãonão2⋯nãop){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} S_ {n} ^ {0} \\ S_ {n} ^ {1} \\\ cdots \\ S_ {n} ^ {p-1} \ end {pmatrix}} = A_ {p} ^ {- 1} {\ begin {pmatrix} n \\ n ^ {2} \\\ cdots \\ n ^ {p} \ end {pmatrix}}}
Por exemplo ,, e .
NO7=(1000000-12000001-330000-14-640001-510-10500-16-1520-15601-721-3535-217){\ displaystyle A_ {7} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & -6 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & -6 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -5 & 10 & 6 -10 & 5 & 0 & 0 & \\ -35 e 35 e -21 e 7 \\\ end {pmatrix}}}NO7-1=(100000012120000016121300000141214000-1300131215000-1120512121601420-160121217){\ displaystyle A_ {7} ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ {1 \ over 2} & {1 \ over 2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ {1 \ over 6} & {1 \ over 2} & {1 \ over 3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {1 \ over 4} & {1 \ over 2} & {1 \ over 4} & 0 & 0 & 0 \\ {- {1 \ over 30}} & 0 & {1 \ over 3} & {1 \ over 2} & {1 \ over 5 } & 0 & 0 \\ 0 & {- {1 \ over 12}} & 0 & {5 \ over 12} & {1 \ over 2} & {1 \ over 6} & 0 \\ {1 \ over 42 } & 0 & {- {1 \ over 6}} & 0 & {1 \ over 2} & {1 \ over 2} & {1 \ over 7} \ end {pmatrix}}}
Achamos bem (cuidado, aqui a soma começa em k = 1) , etc.
Snão0=não{\ displaystyle S_ {n} ^ {0} = n}Snão1=(não+não2)/2{\ displaystyle S_ {n} ^ {1} = (n + n ^ {2}) / 2}
A matriz é a matriz obtida truncando a diagonal principal e alternando os sinais da matriz triangular inferior de Pascal .
NOp{\ displaystyle A_ {p}}
Para somas com expoentes ímpares
A relação acima em somas com expoentes ímpares também pode ser escrita:
∑(eu+1)/2⩽j⩽eu2(eu2j-eu-1)Snão2j-1=(não(não+1))eu{\ displaystyle \ sum _ {{(i + 1)} / 2 \ leqslant j \ leqslant i} 2 {\ binom {i} {2j-i-1}} S_ {n} ^ {2j-1} = ( n (n + 1)) ^ {i}}.
Essas relações para i de 1 a p constituem um sistema triangular do qual são soluções .
Snão1,Snão3,⋯,Snão2p-1{\ displaystyle S_ {n} ^ {1}, S_ {n} ^ {3}, \ cdots, S_ {n} ^ {2p-1}}
Se for a matriz quadrada triangular inferior de ordem p definida por , o sistema é escrito
Bp{\ displaystyle B_ {p}}Bp(eu,j)=2(eu2j-eu-1){\ displaystyle B_ {p} (i, j) = 2 {\ binom {i} {2j-i-1}}}
Bp(Snão1Snão3⋯Snão2p-1)=(não(não+1)não2(não+1)2⋯nãop(não+1)p){\ displaystyle B_ {p} {\ begin {pmatrix} S_ {n} ^ {1} \\ S_ {n} ^ {3} \\\ cdots \\ S_ {n} ^ {2p-1} \ end { pmatriz}} = {\ begin {pmatrix} n (n + 1) \\ n ^ {2} (n + 1) ^ {2} \\\ cdots \\ n ^ {p} (n + 1) ^ { p} \ end {pmatrix}}} ; nós deduzimos disso .
(Snão1Snão3⋯Snão2p-1)=Bp-1(não(não+1)não2(não+1)2⋯nãop(não+1)p){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} S_ {n} ^ {1} \\ S_ {n} ^ {3} \\\ cdots \\ S_ {n} ^ {2p-1} \ end {pmatrix}} = B_ {p} ^ {- 1} {\ begin {pmatrix} n (n + 1) \\ n ^ {2} (n + 1) ^ {2} \\\ cdots \\ n ^ {p} (n +1) ^ {p} \ end {pmatrix}}}
Por exemplo ,, e .
B4=2(1000020001300044){\ displaystyle B_ {4} = 2 {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 4 \ \\ end {pmatrix}}}B4-1=(12000014000-1121600112-1618){\ displaystyle B_ {4} ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} {1 \ over 2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {1 \ over 4} & 0 & 0 \\ 0 & { - 1 \ over {12}} & {1 \ over 6} & 0 \\ 0 & {1 \ over {12}} & {- 1 \ over 6} & {1 \ over 8} \ end {pmatrix}} }
Recuperamos , , etc.
Snão1=não(não+1)/2{\ displaystyle S_ {n} ^ {1} = n (n + 1) / 2}Snão3=não2(não+1)24{\ displaystyle S_ {n} ^ {3} = {\ frac {n ^ {2} (n + 1) ^ {2}} {4}}}Snão5=não3(não+1)36-não2(não+1)212{\ displaystyle S_ {n} ^ {5} = {{n ^ {3} (n + 1) ^ {3}} \ over 6} - {\ frac {n ^ {2} (n + 1) ^ { 2}} {12}}}
A matriz é o dobro da matriz obtida pelo truncamento de uma diagonal descendente de duas da matriz Pascal triangular inferior.
Bp{\ displaystyle B_ {p}}
Bibliografia
-
(pt) John Horton Conway e Richard Guy , The Book of Numbers , Springer Verlag , 1998 ( ISBN 0-387-97993-X ) , p. 107
-
(en) Eric Weisstein , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , Chapman & Hall / CRC, 2003 ( ISBN 1-58488-347-2 ) , p. 2331
-
(por) Johann Faulhaber, Academia Algebrae . Darinnen miraculosische Inventiones die zu den höchsten Cossen Weiters continuirt und profitiert werden , Augsburg, Johann Ulrich Schönig 1631
Notas e referências
(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
“ Fórmula de Faulhaber ” ( ver lista de autores ) .
-
Nulo em n = 0 (cf. “ Soma vazia ”), portanto, produto de n por uma função polinomial de grau p .
-
(em) , Donald E. Knuth , " Johann Faulhaber e somas de potências " , Math. Comp. , vol. 61,1993, p. 277-294 ( ler online ).
-
(em) Giorgio Pietrocola, " Nós polinômios para o cálculo das somas de potências de inteiros sucessivos e números de Bernoulli deduzida do triângulo de Pascal " , ? ,2017( leia online )
Link externo
(en) Eric W. Weisstein , “ Faulhaber's Formula ” , no MathWorld
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