Fórmula de Newton-Cotes

Na análise numérica , as fórmulas de Newton-Cotes , nomeadas em homenagem a Isaac Newton e Roger Cotes , são usadas para o cálculo numérico de uma integral sobre um intervalo real $[ a , b ]$ , isso usando uma interpolação polinomial da função em pontos uniformemente distribuídos.

Metodologia

A função $f$ é avaliada em pontos equidistantes $x i = a + i Δ$ , para $i = 0,\dots, n$ e $Δ = ( b - a ) / n$ . A fórmula do grau $n$ é definida da seguinte forma:

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ {\ rm {d}} x \ approx \ sum _ {i = 0} ^ {n} w_ {i} \, f (x_ { eu})}

onde $w i$ são chamados de coeficientes de quadratura . Eles são deduzidos de uma base de polinômios de Lagrange e são independentes da função $f$ .

Mais precisamente, se $L ( x )$ é a interpolação Lagrangiana nos pontos $( x i , f ( x i ))$ e , então: ${\ displaystyle l_ {i} (X) = \ prod _ {j = 0, j \ neq i} ^ {n} {\ frac {X-x_ {j}} {x_ {i} -x_ {j}} }}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ {\ rm {d}} x \ approx \ int _ {a} ^ {b} L (x) ~ { \ rm {d}} x & = \ int _ {a} ^ {b} \ sum _ {i = 0} ^ {n} f (x_ {i}) \, l_ {i} (x) ~ {\ rm {d}} x \\ & = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ int _ {a} ^ {b} f (x_ {i}) l_ {i} (x) ~ {\ rm {d}} x \\ & = \ sum _ {i = 0} ^ {n} f (x_ {i}) \ underbrace {\ int _ {a} ^ {b} l_ {i} (x) ~ { \ rm {d}} x} _ {w_ {i}}. \ end {alinhado}}}

Então ; ${\ displaystyle w_ {i} = \ int _ {a} ^ {b} \ prod _ {j = 0, j \ neq i} ^ {n} {\ frac {x-x_ {j}} {x_ {i } -x_ {j}}} ~ {\ rm {d}} x.}$ A mudança de variável leva à expressão: ${\ displaystyle y = {\ frac {xa} {\ Delta}}}$ ${\ displaystyle w_ {i} = {\ frac {(ba)} {n}} {\ frac {(-1) ^ {ni}} {i! (ni)!}} \ int _ {0} ^ { n} \ prod _ {k = 0, k \ neq i} ^ {n} (yk) ~ {\ rm {d}} y.}$

Pedido para n = 1

Calculando a expressão anterior quando $n = 1$ e $i = 0$ , obtemos

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} w_ {0} & = (ba) {\ frac {(-1) ^ {1-0}} {0! \, (1-0)!}} \ int _ { 0} ^ {1} \ prod _ {k = 0, k \ neq 0} ^ {1} (yk) ~ {\ rm {d}} y \\ & = - (ba) \ int _ {0} ^ {1} (y-1) ~ {\ rm {d}} y \\ & = - (ba) \ left [{\ frac {(y-1) ^ {2}} {2}} \ right] _ {0} ^ {1} \\ & = {\ frac {ba} {2}}. \ End {alinhado}}}

Nós ficamos da mesma maneira . Assim, encontramos os coeficientes de quadratura do método trapezoidal. ${\ displaystyle w_ {1} = {\ frac {ba} {2}}}$

Fórmulas das primeiras Newton-Cotes

Seja um intervalo $[ a , b ]$ separado em n intervalos de comprimento $Δ = ( b - a ) / n$ . Denotamos por $f i = f ( a + i Δ)$ e ξ um elemento indeterminado de $] a , b [$ . As fórmulas relativas aos primeiros graus estão resumidas na seguinte tabela:

Grau	Nome comum	Fórmula	Termo de erro
1	Método trapézio	${\ displaystyle {\ frac {ba} {2}} (f_ {0} + f_ {1})}$	${\ displaystyle - {\ frac {(ba) ^ {3}} {12}} \, f ^ {(2)} (\ xi)}$
2	Método Simpson 1/3	${\ displaystyle {\ frac {ba} {6}} (f_ {0} + 4f_ {1} + f_ {2})}$	${\ displaystyle - {\ frac {(ba) ^ {5}} {2880}} \, f ^ {(4)} (\ xi)}$
3	Método Simpson 3/8	${\ displaystyle {\ frac {ba} {8}} (f_ {0} + 3f_ {1} + 3f_ {2} + f_ {3})}$	${\ displaystyle - {\ frac {(ba) ^ {5}} {6480}} \, f ^ {(4)} (\ xi)}$
4	Método de Boolean - Villarceau	${\ displaystyle {\ frac {ba} {90}} (7f_ {0} + 32f_ {1} + 12f_ {2} + 32f_ {3} + 7f_ {4})}$	${\ displaystyle - {\ frac {(ba) ^ {7}} {1935360}} \, f ^ {(6)} (\ xi)}$
6	Método Weddle-Hardy	${\ displaystyle {\ frac {ba} {840}} (41f_ {0} + 216f_ {1} + 27f_ {2} + 272f_ {3} + 27f_ {4} + 216f_ {5} + 41f_ {6})}$	${\ displaystyle - {\ frac {(ba) ^ {9}} {1567641600}} \, f ^ {(8)} (\ xi)}$

As fórmulas relacionadas aos graus superiores são fornecidas na tabela a seguir:

Grau	Número de pontos	Fórmula	Termo de erro
7	Método de 8 pontos	${\ displaystyle {\ frac {ba} {17280}} (751 (f_ {0} + f_ {7}) + 3577 (f_ {1} + f_ {6}) + 1323 (f_ {2} + f_ {5 }) + 2989 (f_ {3} + f_ {4}))}$	${\ displaystyle - {\ frac {8183} {518400}} {\ frac {(ba) ^ {9}} {7 ^ {9}}} \, f ^ {(8)} (\ xi)}$
8	Método de 9 pontos	${\ displaystyle {\ frac {ba} {28350}} (989 (f_ {0} + f_ {8}) + 5888 (f_ {1} + f_ {7}) - 928 (f_ {2} + f_ {6 }) + 10496 (f_ {3} + f_ {5}) - 4540f_ {4}}$	${\ displaystyle - {\ frac {2368} {467775}} {\ frac {(ba) ^ {11}} {8 ^ {11}}} \, f ^ {(10)} (\ xi)}$
9	Método de 10 pontos	${\ displaystyle {\ frac {ba} {89600}} (2857 (f_ {0} + f_ {9}) + 15741 (f_ {1} + f_ {8}) + 1080 (f_ {2} + f_ {7 }) + 19344 (f_ {3} + f_ {6}) + 5778 (f_ {4} + f_ {5}))}$	${\ displaystyle - {\ frac {519} {394240}} {\ frac {(ba) ^ {11}} {9 ^ {10}}} \, f ^ {(10)} (\ xi)}$
10	Método de 11 pontos	${\ displaystyle {\ frac {ba} {598752}} (16067 (f_ {0} + f_ {10}) + 106300 (f_ {1} + f_ {9}) - 48525 (f_ {2} + f_ {8 }) + 272400 (f_ {3} + f_ {7}) - 260550 (f_ {4} + f_ {6}) + 427368f_ {5})}$	${\ displaystyle - {\ frac {1346350} {326918592}} {\ frac {(ba) ^ {13}} {{10} ^ {13}}} \, f ^ {(12)} (\ xi)}$

Ordem do método

A ordem de uma fórmula de quadratura é definida como o maior inteiro $m$ para o qual o valor calculado pela fórmula é exatamente a integral desejada para qualquer polinômio de grau menor ou igual a $m$ .

A ordem da fórmula de Newton-Cotes de grau $n$ é maior ou igual a $n$ , porque então temos $L = f$ para qualquer polinômio $f$ de grau menor ou igual a $n$ .

Na verdade, podemos mostrar o seguinte resultado:

Se $n$ for ímpar, o método de Newton-Cotes de grau $n$ será de ordem $n$ .

Se $n$ for par, então o método de Newton-Cotes de grau $n$ é da ordem $n +1$ .

A ordem dá uma indicação da eficiência de uma fórmula em quadratura. As fórmulas de Newton-Cotes são, portanto, geralmente usadas para graus pares.

Convergência

Embora uma fórmula de Newton-Cotes possa ser estabelecida para qualquer grau, o uso de graus maiores pode causar erros de arredondamento, e a convergência não é garantida à medida que o grau aumenta devido ao fenômeno de Runge . Por esse motivo, geralmente é melhor restringir-se aos primeiros graus e usar fórmulas compostas para melhorar a precisão da fórmula em quadratura. No entanto, o método de Newton-Cotes de 8ª ordem é usado no livro Computer Methods for Mathematical Computations , de Forsythe, Malcolm e Moler, que obteve considerável sucesso nas décadas de 1970 e 1980. forma de método adaptativo: QUANC8.

Referências

Weisstein, Eric W. "Newton-Cotes fórmulas." Da MathWorld - Um recurso da Web da Wolfram
Jean-Pierre Demailly , Análise numérica e equações diferenciais , Ciências da EDP , coll. "Ciências de Grenoble",2006, 344 p. ( ISBN 978-2-7598-0112-1 , leitura online ) , p. 63.
Código-fonte QUANC8

Link externo

Fórmulas de Newton-Cotes em Math-Linux.com