Variável (matemática)
Na matemática superior e na lógica , uma variável é um símbolo que representa, a priori, um objeto indeterminado. No entanto, você pode adicionar condições a esse objeto, como o conjunto ou a coleção que o contém. Podemos então usar uma variável para marcar um papel em um predicado , fórmula ou algoritmo , ou resolver equações e outros problemas. Pode ser um valor simples ou um objeto matemático, como um vetor , matriz ou mesmo uma função . Em um polinômio , uma fração racional ou uma série formal , a variável é substituída por um X indefinido denotado .
É comum usar um certo tipo de símbolo para o objeto que se deseja representar, por exemplo as letras de i a n para os índices , as letras no final do alfabeto para os vetores , ou bem ε para um estritamente positivo real com o objetivo de tender para 0.
Noção intuitiva de variável
Para calcular o comprimento e largura de um tanque cujo volume, altura e a diferença entre comprimento e largura são conhecidos, podemos descrever o método de cálculo (o algoritmo de números e operações sobre eles) em um exemplo e, em seguida, reproduzir vários exemplos para descrever completamente o método. Este é o método adotado durante a Antiguidade pela matemática babilônica .
Em vez dos dados e resultados, que mudam em cada exemplo, você pode decidir substituir os valores fictícios - chamados de variáveis - por símbolos. Uma variável é, portanto, uma entidade sintática que aparece em uma expressão e que pode ser substituída por um valor, por exemplo, por um número.
No exemplo dado pela matemática babilônica , se V é o volume, h é a altura e d é a diferença entre o comprimento L e a largura l , temos
eu=(d2)2+Vh+d2eu=(d2)2+Vh-d2{\ displaystyle L = {\ sqrt {\ left ({\ frac {d} {2}} \ right) ^ {2} + {\ frac {V} {h}}}} + {\ frac {d} { 2}} \ qquad \ qquad l = {\ sqrt {\ left ({\ frac {d} {2}} \ right) ^ {2} + {\ frac {V} {h}}}} - {\ frac {d} {2}}}Substituindo as variáveis d por 6, V por 14 e h por 2, obtemos os seguintes resultados:
eu=(62)2+142+62eu=(62)2+142-62{\ displaystyle L = {\ sqrt {\ left ({\ frac {6} {2}} \ right) ^ {2} + {\ frac {14} {2}}}} + {\ frac {6} { 2}} \ qquad \ qquad l = {\ sqrt {\ left ({\ frac {6} {2}} \ right) ^ {2} + {\ frac {14} {2}}}} - {\ frac {6} {2}}}isto é, L = 7 (comprimento é 7) e l = 1 (largura é 1).
Variável de uma função
Sejam E e F dois conjuntos. Considere uma função definida por:
f{\ displaystyle f}
f:E⟶Fx⟼f(x).{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & E & \ longrightarrow & F \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ end {matrix}}.}
x é chamado de variável da expressão f ( x ).
Exemplos
- Para a função definida por:f{\ displaystyle f}
f:R⟶Rx⟼3x+2{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & 3x + 2 \ end {matrix}}}
x é chamado de variável de f ( x ).
- Qualquer um . Para a função g definida por:x=(x1;...;xnão)∈Rnão{\ displaystyle x = (x_ {1}; ...; x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}
g:Rnão⟶Rx⟼∑eu=1nãoxeu2{\ displaystyle {\ begin {matrix} g: & \ mathbb {R} ^ {n} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}} \ end {matriz}}}
x é a variável de g ( x ). Também podemos dizer que cada componente x i de x é uma variável de g ( x ). De acordo com os pontos de vista, ou g ( x ) tem uma variável que é, portanto, x de dimensão n , ou g é uma função de n variáveis de dimensão 1.
Variável livre e variável vinculada
Em matemática, uma variável é dita:
-
livre se puder ser substituído pelo nome de um objeto pertencente a um determinado conjunto; assim, na fórmula aberta “4 x 2 + x - 3 = 0”, a letra “ x ” é uma variável livre; se x é substituído por uma constante a , a expressão “4 a 2 + a - 3 = 0” é uma afirmação ou proposição fechada ;
-
ligado ou silencioso quando entra no campo de um operador, de forma que sua função é apenas descritiva. Assim é com x , k , i e t respectivamente nas seguintes proposições:
∀x∈NÃOx+1>0;∑k=1bk=b(b+1)2;∏eu=110eu=3628800;π=∫0∞21+t2dt{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {N} \ quad x + 1> 0 \ quad; \ quad \ sum _ {k = 1} ^ {b} k = {\ frac {b (b + 1)} {2}} \ quad; \ quad \ prod _ {i = 1} ^ {10} i = 3628800 \ quad; \ quad \ pi = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {2} { 1 + t ^ {2}}} \, dt \,}.
Dizemos que os operadores, respectivamente ∀ , ∑ , ∏ e ∫ , ligam essas variáveis: são signos mutantes .
Exemplos
Exemplo 1
As variáveis ligadas por um quantificador universal ∀ traduzem a universalidade de uma propriedade, ou seja, o fato de que a referida propriedade é satisfeita por todos os objetos de um determinado domínio.
Por exemplo, notamos que
(1+0)2≥1{\ displaystyle (1 + 0) ^ {2} \ geq 1}
(1+1)2≥1+2×1{\ displaystyle (1 + 1) ^ {2} \ geq 1 + 2 \ times 1}
(1+(-0,5))2≥1+2×(-0,5){\ displaystyle (1 + (- 0,5)) ^ {2} \ geq 1 + 2 \ times (-0,5)}
Então podemos supor que:
para qualquer número ,
x∈R{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}(1+x)2≥1+2×x{\ displaystyle (1 + x) ^ {2} \ geq 1 + 2 \ times x}
Se, por raciocínio, essa afirmação for comprovada, será possível usá-la para qualquer número determinado. Para provar este teorema, basta considerar uma variável que representa qualquer número real e expandir:
x{\ displaystyle x}
(1+x)2=1+2×x+x2{\ displaystyle (1 + x) ^ {2} = 1 + 2 \ times x + x ^ {2} \,}Por outro lado, sabemos que qualquer número real ao quadrado é positivo, portanto . Além disso, ao adicionar de cada lado desta última desigualdade , chega-se
x2≥0{\ displaystyle x ^ {2} \ geq 0}1+2×x{\ displaystyle 1 + 2 \ times x}
1+2×x+x2≥1+2×x{\ displaystyle 1 + 2 \ times x + x ^ {2} \ geq 1 + 2 \ times x}portanto
(1+x)2≥1+2×x{\ displaystyle (1 + x) ^ {2} \ geq 1 + 2 \ times x}.
A propriedade é, portanto, universal.
As variáveis ligadas por um quantificador existencial ∃ traduzem a existência de objetos verificando uma determinada propriedade.
Por exemplo, o seguinte teorema:
duas linhas não paralelas do plano se cruzam em um ponto ,
afirma que existe um ponto pertencente a duas retas não paralelas, sem fornecê-lo por uma fórmula.
Como parte de uma prova, partindo de duas retas não paralelas, podemos usar o teorema e afirmar que existe um ponto comum a essas duas retas. Na verdade é uma variável que representa este ponto e esta definição da variável , nos permitirá trabalhar com este ponto.
M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}
Exemplo 2
Deixe e , as seguintes afirmações significam exatamente a mesma coisa:
f:R⟶R{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}}x∈R{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}
eu)∀ϵ>0,∃η>0,∀y∈R,|x-y|<η⟹|f(x)-f(y)|<ϵ{\ displaystyle i) \, \ forall \ epsilon> 0, \ exists \ eta> 0, \ forall y \ in \ mathbb {R}, | xy | <\ eta \ Longrightarrow | f (x) -f (y) | <\ epsilon}
eueu)∀ϵ>0,∃α>0,∀y∈R,|x-y|<α⟹|f(x)-f(y)|<ϵ{\ displaystyle ii) \, \ forall \ epsilon> 0, \ exists \ alpha> 0, \ forall y \ in \ mathbb {R}, | xy | <\ alpha \ Longrightarrow | f (x) -f (y) | <\ epsilon}
eueueu)∀ϵ>0,∃α>0,∀♠∈R,|x-♠|<α⟹|f(x)-f(♠)|<ϵ{\ displaystyle iii) \, \ forall \ epsilon> 0, \ exists \ alpha> 0, \ forall \ spadesuit \ in \ mathbb {R}, | x- \ spadesuit | <\ alpha \ Longrightarrow | f (x) - f (\ spadesuit) | <\ epsilon}
euv)∀y>0,∃ϵ>0,∀α∈R,|x-α|<ϵ⟹|f(x)-f(α)|<y{\ displaystyle iv) \, \ forall y> 0, \ exists \ epsilon> 0, \ forall \ alpha \ in \ mathbb {R}, | x- \ alpha | <\ epsilon \ Longrightarrow | f (x) -f (\ alpha) | <y}
v)festvsonãoteunãovocêeenãox{\ displaystyle v) \, f \, é \, continuar \, em \, x}
Neste caso, as variáveis estão ligadas, isto é muito perceptível neste caso porque o enunciado se resume sem as utilizar.
ϵ,η,α,y,♠{\ displaystyle \ epsilon, \, \ eta, \, \ alpha, \, y, \, \ spadesuit}
E ao longo deste exemplo, e são variáveis livres, de fato, tudo isso é equivalente a:
f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}
Deixe e , as seguintes afirmações significam exatamente a mesma coisa:
g:R⟶R{\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}}z∈R{\ displaystyle z \ in \ mathbb {R}}
eu)∀ϵ>0,∃η>0,∀y∈R,|z-y|<η⟹|g(z)-g(y)|<ϵ{\ displaystyle i) \, \ forall \ epsilon> 0, \ exists \ eta> 0, \ forall y \ in \ mathbb {R}, | zy | <\ eta \ Longrightarrow | g (z) -g (y) | <\ epsilon}
eueu)∀ϵ>0,∃α>0,∀y∈R,|z-y|<α⟹|g(z)-g(y)|<ϵ{\ displaystyle ii) \, \ forall \ epsilon> 0, \ exists \ alpha> 0, \ forall y \ in \ mathbb {R}, | zy | <\ alpha \ Longrightarrow | g (z) -g (y) | <\ epsilon}
eueueu)∀ϵ>0,∃α>0,∀♠∈R,|z-♠|<α⟹|g(z)-g(♠)|<ϵ{\ displaystyle iii) \, \ forall \ epsilon> 0, \ exists \ alpha> 0, \ forall \ spadesuit \ in \ mathbb {R}, | z- \ spadesuit | <\ alpha \ Longrightarrow | g (z) - g (\ spadesuit) | <\ epsilon}
euv)∀y>0,∃ϵ>0,∀α∈R,|z-α|<ϵ⟹|g(z)-g(α)|<y{\ displaystyle iv) \, \ forall y> 0, \ exists \ epsilon> 0, \ forall \ alpha \ in \ mathbb {R}, | z- \ alpha | <\ epsilon \ Longrightarrow | g (z) -g (\ alpha) | <y}
v)gestvsonãoteunãovocêeenãoz{\ displaystyle v) \, g \, is \, continue \, in \, z}
E se alguém apresenta, por exemplo e , as afirmações anteriores tornam-se proposições, que são, neste caso, verdadeiras.
f=exp{\ displaystyle f = \ exp}x=0{\ displaystyle x = 0}
Variáveis matemáticas e variáveis de computador
Em linguagens de programação imperativas , o que os cientistas da computação chamam de variáveis são benchmarks de valores que evoluem ao longo do tempo, também falamos de referências . É, portanto, antes a identificação de locais na memória. Se uma variável de computador não for inicializada, seu valor será indefinido. Quando deve ser utilizado no mesmo contexto o conceito de variável matemática e o conceito de dados variáveis, como é o caso na semântica das linguagens de programação , variável computacional denominada "location" (" rent " em inglês).
Em linguagens funcionais, graças à transparência referencial , as variáveis do programa são variáveis matemáticas.
História
Em sua logística capciosa , François Viète abre caminho para o formalismo ao usar letras para representar as entidades usadas em um problema matemático. Freqüentemente, usamos a letra x para uma variável. Viria da letra grega khi, transformação do árabe chay ' (شيء), que significa "coisa".
Matemática sem variáveis
O matemático Moses Schönfinkel teve a ideia de que se podia basear a matemática em uma lógica sem variáveis. Ele criou para isso um sistema formal chamado lógica combinatória . Este sistema foi adotado e completado por Haskell Curry . Esse sistema não tem as complicações da substituição , mas perde a legibilidade. Usando o cálculo das relações, Tarski e Givant também definiram uma matemática sem variáveis. Os índices de De Bruijn são outra forma de fazer sem variáveis.
Notas e referências
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Nas ciências exatas, uma quantidade está associada a uma variável; assim, o tempo é frequentemente associado e a posição no espaço com o trigêmeo .t{\ displaystyle t}(x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}
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Extrato do tablet BM85200 e VAT6599. Este tablet é estudado de um ponto de vista algorítmico no artigo de Donald E. Knuth : Ancient Babylonian Algorithms . Comum. ACM 15 (7): 671-677 (1972), reproduzido em seu livro Selected Papers on Computer Science , (Stanford, Califórnia: Center for the Study of Language and Information, 1996) e na versão francesa do livro Elements for a história da computação , (traduzido por P. Cégielski) sob o título Algorithmes babyloniens anciens p. 1-20.
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Ou seja, que contém variáveis livres.
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A afirmação pode confundir o leitor acostumado à definição formal usual de continuidade, porque as variáveis não são usadas de acordo com o uso tradicional. Embora não seja recomendado, mostra que as variáveis associadas podem ser renomeadas arbitrariamente sem alterar o significado geral da proposição.euv{\ displaystyle iv}
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" Logic - Pocket " , nas Edições Le Pommier ,17 de maio de 2016(acessada 1 r jul 2019 ) , p. 16
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Moses Schönfinkel, Uber die Bausteine der mathematischen Logik , Annals of Mathematics , 92, 1924, p. 305-316 . Trad. por G. Vandevelde, Sobre os blocos de construção da lógica matemática . Análise e nota de Jean-Pierre Ginisti , Mathematics, Informatics and Human Sciences (MISH), 112, inverno 1990, p. 5-26 . Conferência dada em Göttingen em 1920.
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Em numerosos textos desde Uma análise da substituição lógica , The American Journal of Mathematics, 51, 1929, p. 363-384 . Livros de referência: Haskell Brooks Curry et al. , Combinatory logic 1 , 1958 e Combinatory logic 2 , 1972, Ed. North Holland. Veja também Uma lógica matemática sem variáveis de John Barkley Rosser, Univ. Diss. Princeton, NJ 1934, p. 127-150 , 328-355.
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Alfred Tarski & Givant, Steven, 1987. 2004, "A formalization of Set Theory Without Variables" American Mathematical Society.
Veja também
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">