Notação (matemática)

Usado em matemática, um conjunto de notações para condensar e formalizar as declarações e demonstrações . Essas notações surgiram gradualmente ao longo da história da matemática e do surgimento de conceitos associados a essas notações. Eles não são totalmente padronizados.

Quando duas traduções de uma notação são fornecidas, uma é a tradução palavra por palavra e a outra é a tradução natural .

Este artigo trata das notações matemáticas latinas . Existem outras notações matemáticas não latinas, como Modern Arabic Mathematical Notation  (en) .

Existem também notações matemáticas destinadas aos cegos.

Introdução

Como qualquer linguagem formal , uma notação matemática visa remover a ambigüidade (notavelmente linguística) de uma proposição, dividindo-a em um conjunto limitado de símbolos cujo arranjo pode ter apenas um significado.

Por exemplo, dizer que é um , use: . x{\ displaystyle x}x=1{\ displaystyle x = 1}

Essa linguagem científica também permite, em menor grau, facilitar a comunicação entre matemáticos que não falam a mesma língua. Se não substituir completamente a linguagem natural , permite que os conceitos matemáticos mais complexos sejam expressos de uma forma quase idêntica em muitas línguas e culturas, evitando mal-entendidos sobre os conceitos matemáticos, por pessoas que não dominam toda a gramática. e sutilezas sintáticas da linguagem de comunicação usada.

Mesmo dentro da família cultural que usa a notação matemática latina , certos conceitos da linguagem formal permanecem, entretanto, específicos para um dado conjunto linguístico. Assim, na literatura matemática de língua francesa, a afirmação significa "  o conjunto A é um subconjunto de B ou é igual a B  ", enquanto na literatura matemática de língua inglesa, significará "  o conjunto A é um subconjunto .conjunto estrito de B  ”. NO⊂B{\ displaystyle A \ subconjunto B}

A lista de símbolos a seguir não é exaustiva. No entanto, todos os símbolos apresentados aqui são usados ​​universalmente na literatura matemática de língua francesa.

Operadores lógicos

• ¬{\ displaystyle \ neg}, não .
• ∧{\ displaystyle \ land}, e .
• ∨{\ displaystyle \ lor}, ou .
• ⇒{\ displaystyle \ Rightarrow}, implica .
• ⇔{\ displaystyle \ Leftrightarrow}, é equivalente a .

Jogos

Um conjunto representa uma coleção de objetos. Os objetos da coleção são os elementos do todo.

Definição de um conjunto

Um conjunto pode ser definido:

• na compreensão , isto é, por uma propriedade característica entre os elementos de um dado conjunto. por exemplo{não∈NÃO∣não pnoeur}{\ displaystyle \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid n \ {\ rm {pair \}}}} (o conjunto de todos os inteiros pares);
• como uma imagem direta . Por exemplo, o conjunto acima também é escrito{2m∣m∈NÃO}.{\ displaystyle \ {2m \ mid m \ in \ mathbb {N} \}.}

Relações em conjuntos

• ∈{\ displaystyle \ in}, associação .
  • n pertence ao conjunto dos números naturais.
  • n é um número natural.

não∈NÃO{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}

A associação é um relacionamento que liga um elemento a um todo.

• ⊂{\ displaystyle \ subset}, inclusão .
  • Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}está incluído em .Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
  • Os inteiros relativos são números racionais.

Z⊂Q{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ subset \ mathbb {Q}}

Um conjunto é incluído em outro se e somente se todos os seus elementos forem elementos do outro.

Operações em sets

• ⋂ , interseção .
• ∪, união .

Conjuntos usuais

• NÃO{\ displaystyle \ mathbb {N}}ou N , conjunto de números naturais .
• Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}ou Z , conjunto de números inteiros relativos .
• D{\ displaystyle \ mathbb {D}}ou D , conjunto de números decimais .
• Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}ou Q , o conjunto racional .
• R{\ displaystyle \ mathbb {R}}ou R , conjunto de números reais .
• R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}, conjunto de números reais positivos ou nulos.
• R-{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {-}}, conjunto de números reais negativos ou nulos.
• VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}ou C , conjunto de números complexos .
• H{\ displaystyle \ mathbb {H}}ou H , conjunto de quatérnios .
• P{\ displaystyle \ mathbb {P}}ou P , conjunto de números primos .
• NÃO∗,Z∗,D∗,Q∗,R∗,R+∗,R-∗,VS∗{\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {*}, \ mathbb {Z} ^ {*}, \ mathbb {D} ^ {*}, \ mathbb {Q} ^ {*}, \ mathbb {R} ^ { *}, \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, \ mathbb {R} _ {-} ^ {*}, \ mathbb {C} ^ {*}}, os mesmos conjuntos privados de zero.
• NO×{\ displaystyle A ^ {\ times}}, conjunto de elementos invertíveis de um anel . Por exemplo, e , enquanto if é um campo (como , ou ) ,.NO{\ displaystyle A}Z×={-1,1}{\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ times} = \ {- 1,1 \}}D×={±2no5b∣no,b∈Z}{\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {\ times} = \ {\ pm 2 ^ {a} 5 ^ {b} \ mid a, b \ in \ mathbb {Z} \}}NO{\ displaystyle A}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}NO×=NO∗{\ displaystyle A ^ {\ times} = A ^ {*}}

Quantificadores

Veja cálculo de predicados para um ponto de vista mais teórico sobre essas notações.

Para tudo

Avaliação

∀{\ displaystyle \ forall}, para tudo , seja o que for .

Exemplos

• ∀não(não∈NÃO⇒não≥0){\ displaystyle \ forall n \, (n \ in \ mathbb {N} \ Rightarrow n \ geq 0)} Qualquer que seja n é um número natural, n é maior ou igual a zero. NÃO{\ displaystyle \ mathbb {N}} é reduzido em zero.
• ∀não∈NÃOnão≥0{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad n \ geq 0} Forma condensada.
• ∀no∈R((no≤0∧no≥0)⇒no=0){\ displaystyle \ forall a \ in \ mathbb {R} \, \ left ((a \ leq 0 \ land a \ geq 0) \ Rightarrow a = 0 \ right)} Para qualquer a real, se a for menor ou igual a zero e se a for maior ou igual a zero, então a será zero. Qualquer real, maior ou igual a zero e menor ou igual a zero, é zero.

Isso existe

Avaliação

∃{\ displaystyle \ existe}, existe (pelo menos um).

Exemplos

• ∃nãonão∈NÃO{\ displaystyle \ existe n \ quad n \ in \ mathbb {N}} Existe um elemento emNÃO{\ displaystyle \ mathbb {N}} . NÃO{\ displaystyle \ mathbb {N}} não está vazio.
• ∃x(x∈R∧x≥1){\ displaystyle \ existe x \, \ left (x \ in \ mathbb {R} \ land x \ geq 1 \ right)} Existe um x real tal que x é maior ou igual a um . R{\ displaystyle \ mathbb {R}} não é aumentado em 1.
• ∃x∈Rx≥1{\ displaystyle \ exists x \ in \ mathbb {R} \ quad x \ geq 1} Forma condensada.

Exemplos gerais

• ∀não∈NÃO∃m∈NÃOm≥não{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ existe m \ in \ mathbb {N} \ quad m \ geq n} Para cada número natural n, existe outro número natural m tal que m é maior ou igual a n. Qualquer número natural é menor ou igual a pelo menos um outro número natural.
• ∃m∈NÃO∀não∈NÃOm≥não{\ displaystyle \ exists m \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad m \ geq n} Existe um número natural m tal que para qualquer número natural n, m é maior ou igual a n. NÃO{\ displaystyle \ mathbb {N}}é aumentado .

Notaremos, portanto, que a ordem dos quantificadores é importante: a primeira proposição é verdadeira, a outra é falsa.

• ∀(no,eu)∈R2∃f:R→R∀ϵ∈R+∗∃α∈R+∗∀x∈[no-α,no+α]|f(x)-eu|≤ϵ{\ displaystyle \ forall (a, l) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ quad \ existe f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ quad \ forall \ epsilon \ in \ mathbb { R} _ {+} ^ {*} \ quad \ existe \ alpha \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ forall x \ in [a- \ alpha, a + \ alpha] \ quad | f (x) -l | \ leq \ epsilon} Para todos os números reais a e l, existe um mapa f de em tal que f limita l em aR{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}} .

Há um único

A notação significa que existe um único ... (ou existe um e apenas ... ). Este quantificador é definido a partir dos quantificadores anteriores e da igualdade. Para P (x) uma propriedade de x  : ∃!{\ displaystyle \ existe!}

∃! x P ( x ) é equivalente por definição a ∃ x [P ( x ) ∧ ∀ y (P ( y ) ⇒ y = x )] Existe um único x que satisfaz P (x) é equivalente a Existe x que satisfaz P (x) e tudo o que y satisfaz P (y) então y = x.

ou equivalente:

∃! x P ( x ) é equivalente a ∃ x P ( x ) ∧ ∀ x ∀ y [(P ( x ) ∧ P ( y )) ⇒ y = x ].Exemplo ∀x∈R∗ ∃!y∈R∗ xy=1{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ \ existe! y \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ xy = 1} Para qualquer real x diferente de zero, existe um real y único diferente de zero, de modo que o produto xy é igual a 1. Em outras palavras, x admite uma única inversa para a multiplicação.

Símbolos aritméticos

Esses símbolos são usados ​​para simplificar a escrita de séries longas (por exemplo, evitando o uso de linhas pontilhadas). Usamos em cada um desses casos uma variável chamada variável fictícia que assumirá valores em um conjunto preciso. Esta variável fictícia permitirá então a descrição de um termo genérico colocado após o símbolo.

Soma

∑{\ displaystyle \ sum}(Letra grega: sigma maiúsculo)Exemplos

• Se for um número inteiro estritamente positivo:não{\ displaystyle n}

∑k=1nãok2=12+22+32+42+...+não2=não(não+1)(2não+1)6{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + \ ldots + n ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}} Aqui está a variável fictícia, ela leva seus valores no conjunto (conjunto de inteiros). O termo geral para essa soma é .k{\ displaystyle k}[1,não]{\ displaystyle [1, n]}k2{\ displaystyle k ^ {2}}

• Ω{\ displaystyle \ Omega} sendo o conjunto de inteiros pares positivos

∑k∈Ω, k<50k2=∑k=024(2k)2{\ displaystyle \ sum _ {k \ in \ Omega, \ k <50} k ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {24} (2k) ^ {2}} À esquerda da igualdade, pertence a um conjunto definido por duas condições: seus elementos são até inteiros positivos e são estritamente menores que 50k{\ displaystyle k}

• Exemplo de soma infinita:

∀x∈R, ∑k=0∞xkk!=ex{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {k!}} = e ^ {x}} Poderíamos ter escrito de uma forma menos condensada: 1+x+x22!+x33!+⋯+xkk!+⋯=ex{\ displaystyle 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + \ dots + {\ frac {x ^ {k }} {k!}} + \ pontos = e ^ {x}}

Por convenção, uma soma indexada pelo conjunto vazio é zero.

produtos

∏{\ displaystyle \ prod}(Letra grega: Pi maiúsculo)

Este símbolo é usado de forma análoga ao símbolo da soma.

Exemplo ∏k=1nãoexp⁡(k2)=exp⁡(∑k=1nãok2)=exp⁡(não(não+1)(2não+1)6){\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ exp (k ^ {2}) = \ exp \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} \ right) = \ exp \ left ({\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} \ right)} Poderíamos ter escrito de uma forma menos condensada: exp⁡(12)⋅exp⁡(22)⋅exp⁡(32)⋅...⋅exp⁡(não2)=exp⁡(não(não+1)(2não+1)6){\ displaystyle \ exp (1 ^ {2}) \ cdot \ exp (2 ^ {2}) \ cdot \ exp (3 ^ {2}) \ cdot \ ldots \ cdot \ exp (n ^ {2}) = \ exp \ left ({\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} \ right)}

Por convenção, um produto indexado pelo conjunto vazio é igual a 1.

Fatorial

!{\ displaystyle!} (ponto de exclamação)

Este é um caso especial de um produto:

não!=∏1≤k≤nãok{\ displaystyle n! = \ prod _ {1 \ leq k \ leq n} k}

(onde n e k são inteiros implicitamente assumidos ).

Em outras palavras,

se o inteiro n for estritamente positivo: não!=1×2×3⋯×não{\ displaystyle n! = 1 \ vezes 2 \ vezes 3 \ pontos \ vezes n} se for negativo ou zero, n  ! = 1.

Notas e referências

1. Composição de textos científicos - Texto apresentado pela National Education (France) para padronização de disciplinas de exame, p. 3
2. Com a definição do produto vazio; na realidade, preferimos manter n ! indefinido se n for negativo, para manter a equação funcional; veja a função Gamma

Veja também

Bibliografia

• (pt) Florian Cajori, A History of Mathematical Notations , Dover Publications ,1993, 820  p. ( ISBN  978-0-486-67766-8 , leia online )

Artigos relacionados

• Tabela de símbolos matemáticos
• Lista de abreviações em matemática
• Lógica matemática

links externos

• Regras francesas da tipografia matemática  : como escrever um documento matemático em francês que seja tipograficamente correto

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