Gravidade superficial

Em astronomia , a gravidade superficial é a intensidade do campo gravitacional na superfície de um objeto astrofísico ( planeta , estrela ou outro). Este conceito também é usado, embora de uma forma ligeiramente diferente, na física do buraco negro, onde regula a taxa na qual o campo gravitacional no sentido clássico do termo diverge conforme se aproxima da superfície do buraco negro, ou seja, - digamos sobre seu horizonte .

Na física estelar e subestelar (anãs marrons, exoplanetas massivos), o costume é usar o logaritmo decimal do valor expresso no sistema CGS (cm / s²).

Fórmula newtoniana

No quadro da mecânica clássica , a gravidade superficial é dada pela fórmula usual do campo gravitacional de um objeto esférico, a saber: $\ kappa$

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {GM} {R ^ {2}}} = {\ frac {\ mu} {R ^ {2}}}}

ou :

$G$ é a constante gravitacional ;
$M$ é a massa do objeto considerado;
$R$ é o seu raio, sendo o objeto considerado aproximadamente esférico;
$\ mu$ é o parâmetro gravitacional padrão associado à massa do item . $\ mu = GM$

Corpos celestes do sistema solar

Corpo celestial	Gravidade superficial
sol	273,95 m · s -2
Mercúrio	3,701 m · s -2
Vênus	8,87 m · s -2
terra	9,78 (equador) a 9,83 m · s -2 (pino)
Lua	1,622 m · s -2
Março	3,711 m · s -2
Júpiter	24,796 m · s -2
Saturno	10,44 m · s -2
Titã	1,352 m · s -2
Urano	8,87 m · s -2
Netuno	11,15 m · s -2

Caso de buracos negros

No contexto da física dos buracos negros, é possível definir um análogo do conceito de gravidade superficial. No entanto, esteja ciente de que um buraco negro pode ser quase por definição considerado como um objeto em cuja "superfície" (ou seja, no nível de seu horizonte ) o campo gravitacional é infinito. Há, no entanto, outra quantidade que diverge quando nos aproximamos do horizonte de um buraco negro: é o desvio para o vermelho gravitacional dos sinais emitidos por esta zona. Nesse contexto, definimos a gravidade superficial de um buraco negro pelo limite da razão entre a intensidade do campo gravitacional e o desvio para o vermelho causado pelo buraco negro. Podemos então mostrar que essa quantidade permanece finita quando nos aproximamos do horizonte, e que no caso mais simples de um buraco negro de Schwarzschild , seu valor é igual ao que ingenuamente deduziríamos em um tratamento newtoniano, c 'quer dizer que vale novamente a pena G M / R 2 .

Fórmula e casos especiais

A expressão exata da gravidade da superfície é escrita, em unidades geométricas ,

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {\ sqrt {M ^ {2} -a ^ {2} -Q ^ {2}}} {2M \ left (M + {\ sqrt {M ^ {2} -a ^ {2} -Q ^ {2}}} \ direita) -Q ^ {2}}}}

onde M , Q , a respectivamente representam a massa, a carga elétrica e o momento angular reduzido (isto é, a razão do momento angular para a massa) do buraco negro.

Para um buraco negro extremo , para o qual a quantidade desaparece, temos ${\ displaystyle M ^ {2} -a ^ {2} -Q ^ {2}}$

{\ displaystyle \ kappa _ {\ rm {Ext}} = 0}

No caso de um buraco negro de Schwarzschild , ou seja, não tendo, pelo contrário, carga elétrica nem momento angular, obtemos

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {1} {4M}}}

que dá, com as unidades do Sistema Internacional ,

{\ displaystyle \ kappa _ {\ rm {Sch}} = {\ frac {GM} {R ^ {2}}}}

com

R = \ frac {2 GM} {c ^ 2}

correspondendo ao raio de Schwarzschild . Portanto, eliminando : $R$

{\ displaystyle \ kappa _ {\ rm {Sch}} = {\ frac {1} {M}} \ left ({\ frac {c ^ {4}} {4G}} \ right)}

Reconhecemos aí a força que é o valor da força de Planck . A gravidade da superfície de um buraco negro de Schwarzschild é, portanto, inversamente proporcional à sua massa , seu valor sendo o inverso de sua massa em unidades de Planck reduzidas (onde G é substituído por 4G). ${\ displaystyle c ^ {4} / 4G}$ $M$

Propriedades da gravidade da superfície de um buraco negro

A principal propriedade da gravidade da superfície de um buraco negro é que ela é estritamente constante em toda a superfície do buraco negro. Este resultado é lógico no caso de um buraco negro esférico simétrico (buraco negro de Schwarzschild e Reissner-Nordström ), mas é mais surpreendente quando o buraco negro é não esférico devido à sua rotação ( buraco negro de Kerr ou Kerr-Newman ) .

A gravidade superficial pode ser determinada calculando a derivada parcial da massa de qualquer buraco negro em relação à sua superfície A , mantendo sua carga elétrica Q e seu momento angular L fixos , de acordo com a fórmula

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {G} {8 \ pi}} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial A}} \ right) _ {Q, L}}

Portanto, o diferencial da massa de um buraco negro é escrito no sistema de unidades geométricas ,

{\ displaystyle {\ rm {d}} M = {\ frac {\ kappa} {8 \ pi}} {\ rm {d}} A + ...}

O fato de que a superfície de um buraco negro necessariamente cresce ao longo do tempo, e que a gravidade da superfície é constante no horizonte de um buraco negro, deve ser comparado aos princípios da termodinâmica que dizem que a temperatura de um objeto em equilíbrio está em toda parte o mesmo no objeto e que sua entropia só pode aumentar com o tempo. Este fato não é trivial e está na origem do desenvolvimento de uma profunda analogia entre os buracos negros e a termodinâmica: a termodinâmica dos buracos negros . A demonstração desse resultado é relativamente complexa, e se deve a Brandon Carter , Stephen Hawking e James Bardeen , em 1973 .

Notas

(em) James M. Bardeen , Brandon Carter & Hawking , The Four Laws of Black Hole Mechanics , Communications in Mathematical Physics , 31 , 161-170 (1973) Ver online .

Referências

(en) Robert M. Wald , Relatividade Geral , University of Chicago Press ,1984, 498 p. ( ISBN 0226870332 ), página 330 a 334.
“ Andando sobre exoplanetas: Star Wars está certo? "[" Andando sobre exoplanetas: Guerra nas estrelas está certo? " »], ArXiv ,2016( leia online )