Grupo Witt

Em matemática, um grupo Witt em um campo comutativo , nomeado após Ernst Witt , é um grupo abeliano cujos elementos são representados por formas simétricas bilineares neste campo.

Definição

Considere um campo comutativo k . Todos os espaços vetoriais considerados aqui serão implicitamente assumidos como de dimensão finita. Dizemos que duas formas bilineares simétricas são equivalentes se podemos obter uma da outra adicionando 0 ou mais cópias de um plano hiperbólicoEspaço hiperbólico (forma bilinear simétrica não degenerada na dimensão 2 com um vetor de norma zero). O teorema de Witt garante que é de fato uma relação de equivalência.

O grupo Witt em k é o grupo abeliano das classes de equivalência de formas bilineares simétricas não degeneradas, com a primeira lei correspondendo à soma ortogonal direta das formas. Nesse grupo, todo elemento de ordem finita tem para ordem uma potência de 2. A altura do campo k é definida como o expoente do subgrupo de torção de seu grupo de Witt. (Se o nível do corpo estiver terminado, a altura é o dobro.)

O grupo de Witt em k pode ser enriquecido com uma estrutura de anel comutativa , usando o produto tensorial de duas formas bilineares para a segunda lei. Esse anel é algumas vezes chamado de anel de Witt sobre k , embora o termo anel de Witt também seja usado algumas vezes para denotar um anel completamente diferente: o dos vetores de Witt .

Equivalência Witt

Dois campos comutativos são considerados equivalentes de Witt se seus anéis de Witt forem isomórficos. Dois campos de números K e L são equivalentes a Witt se e somente se existe uma bijeção T entre K e L e um isomorfismo de grupos t entre seus grupos de produtos, que preserva os símbolos de Hilbert de grau 2. Neste caso, o par ( T , t ) é chamado de equivalência recíproca ou equivalência de símbolos de Hilbert de grau 2 . Diversas variações e extensões dessas condições foram estudadas; consulte as referências para obter mais detalhes.

Generalizações

Witt grupos podem ser definidos da mesma maneira para as formas anti-simétricos , bem como as formas quadráticas , ou mais genericamente formas ε-quadrático (em) , em qualquer anel R .

Os grupos resultantes (e suas generalizações) formam o grupo L simétrico de dimensão par e o grupo L quadrático de dimensão par . Os grupos L quadráticos são 4-periódicos, que é o grupo Witt de formas (simétricas) (1) -quadráticas, e é o grupo Witt formas (antissimétricas) (-1) -quadráticas; os grupos L simétricos não são 4-periódicos em todos os anéis, daí o fato de que eles produzem uma generalização um pouco menos exata. ${\ displaystyle L ^ {2k} (R)}$ ${\ displaystyle L_ {2k} (R)}$ ${\ displaystyle L_ {0} (R)}$ ${\ displaystyle L_ {2} (R)}$

Os grupos L são objetos essenciais da teoria da cirurgia e formam um dos três termos da seqüência exata da cirurgia (em) .

Referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Witt group " ( veja a lista de autores ) .
(pt) A. Czogała, "Grau superior domesticar a equivalência de símbolos de Hilbert de campos numéricos", em Abh. Matemática. Semana Univ. Hamburgo , vol. 69, 1999, p. 175-185
Serge Lang , Algebra [ detalhe das edições ]
(de) E. Witt, “ Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern ”, em J. Reine angew. Math , vol. 176, 1937, pág. 31-44
(pt) AV Mikhalev , AI Nemytov e VL Popov , "Witt ring" , em Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leia online )

(em) Tsit-Yuen Lam , Introdução a Quadratic Forms over Fields , AMS , al. “ Pós-Graduação em Matemática ” ( n S 67),2005( ISBN 978-0-8218-7241-3 , leitura online ) , p. 380.