Grupo derivado

Em matemática , em álgebra em um grupo G , o grupo derivado , notado D ( G ) ou [ G , G ], é o menor subgrupo normal para o qual o grupo quociente G / [G, G] é abeliano . O grupo derivado de G é trivial se e somente se o grupo G é abeliano. O grupo quociente de G por um seu derivado de grupo é abelianization de L .

O processo de abelianização muitas vezes permite provar que dois grupos não são isomórficos. Ele também está envolvido com geometria .

Comuta

A troca de dois elementos e é, por definição, o elemento definido por: $g \ in G$ ${\ displaystyle h \ in G}$ ${\ displaystyle [g, h]}$

{\ displaystyle [g, h] = ghg ​​^ {- 1} h ^ {- 1} \,}

A chave mede a falha de comutação dos elementos g e h :

{\ displaystyle gh = [g, h] hg}

e entao :

{\ displaystyle [g, h] = e \ Leftrightarrow gh = hg}

Em particular, em um grupo abeliano, todas as chaves são iguais ao elemento neutro . $e$

O inverso do interruptor de g e h é a chave de h e g :

{\ displaystyle [g, h] ^ {- 1} = [h, g]}

O conjunto de comutadores é estável por qualquer endomorfismo de G : para todo g e h em G , $\ psi$

{\ displaystyle \ psi ([g, h]) = [\ psi (g), \ psi (h)]}

Para todo g , h e k em G , temos:

{\ displaystyle [g, hk] = [g, h] .h [g, k] h ^ {- 1}}

Grupo derivado

O conjunto de interruptores é estável ao contrário, mas não necessariamente por composição. Geralmente, não é um subgrupo de L . O subgrupo gerado pelas chaves é denominado grupo derivado de G , denotado por D ( G ) ou [ G , G ].

{\ displaystyle D (G) = [G, G] = \ langle \ {[g, h] \ mid (g, h) \ in G ^ {2} \} \ rangle.}

Em particular, qualquer elemento de D (G) é um produto acabado de interruptores. À medida que a imagem de um interruptor por um grupo de endomorfismo é um interruptor, o grupo derivado é estável por qualquer endomorfismo de L : é um subgrupo totalmente característica de L . Em particular, é um subgrupo característica, e, por conseguinte, normal, para L .

Exemplos:

O grupo derivado do grupo simétrico S n é o grupo alternado A n .
O grupo derivado do grupo linear geral GL ( n, K ) é o grupo linear especial SL ( n, K ), a menos que n = 2 e K = F 2 .
Todos os grupos SL ( n, K ) são perfeitos (ou seja, cada um é igual ao seu subgrupo derivado), exceto SL (2, F 2 ) e SL (2, F 3 ).

Propriedades

O grupo derivado de uma soma direta dos grupos G i é a soma direta dos grupos derivados D ( G i ).
O grupo derivado de um produto direto dos grupos G i é, no produto direto dos grupos derivados D ( G i ), o subgrupo constituído pelos elementos g para os quais existe um inteiro n g tal que, para todo i , o o componente g i de g é um produto de n g switches.

Abelianizado

Como [ G , G ] é um subgrupo normal de G , podemos definir o quociente de G por [ G , G ], por definição o abelianizado de G :

{\ displaystyle Ab (G) = G ^ {ab} = G / [G, G]}

. Exemplos

Se L é conmutativo, então L ab é igual a L / {1} para se canonicamente identificado com L .
Se G é o grupo multiplicativo de ℍ * quatérnions de Hamilton diferente de zero, então [ G , G ] é o grupo do quaternion padrão 1 que é diferente da esfera unitária S 3 de ℝ 4 . A função a ↦ ║ a ║, de ℍ * no grupo multiplicativo ℝ * + de números reais estritamente positivos, é um morfismo de grupos sobrejetivos com kernel S 3 , e passando para o quociente obtemos um isomorfismo de (ℍ *) ab = ℍ * / S 3 em ℝ * + .

Para qualquer grupo G , seu Ab ( G ) abelianizado é um grupo abeliano.

É mesmo o maior quociente abeliano de G no seguinte sentido (o que prova que o "menor subgrupo normal para o qual o grupo quociente G / [G, G] é abeliano", mencionado na introdução, existe e é igual ao derivado grupo definido acima):

Se H é um subgrupo do normal L , o quociente G / H é abeliano se e apenas se H contém o grupo derivado a partir de L .

De fato, G / H é abeliano se e somente se, para todos os elementos g e h de G , existe x em H tal que: gh = xhg , ou seja, se e somente se (para todos g e h ) o [ g , h ] pertence a h .

A propriedade anterior é reformulada em termos de morfismos:

Qualquer morfismo de G para um grupo abeliano é fatorado por Ab ( G ).

A abelianização de um grupo é seu primeiro grupo de homologia com coeficientes inteiros : G ab = H 1 ( G , ℤ).

Suite derivada

A sequência derivada de G é a sequência de subgrupos de G definidos por indução da seguinte forma:

{\ displaystyle D ^ {0} (G) = G}

{\ displaystyle D ^ {k} (G) = D \ left [D ^ {k-1} (G) \ right] = [D ^ {k-1} (G), D ^ {k-1} ( G)]}

Os subgrupos de G que aparecem na sua sequência derivada são subgrupos totalmente característicos de G.
Se esta sequência for estacionária em , isto é, se existe um n natural tal que , diz-se que o grupo pode ser resolvido . $\ {e \}$ ${\ displaystyle D ^ {n} (G) = \ {e \}}$

Notas e referências

Alguns trabalhos definir o comutador de g e h como ; não é a convenção adotada aqui. ${\ displaystyle g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$
(em) WR Scott, Teoria de Grupo , Dover ,1987( 1 st ed. 1964) ( linha de leitura ) , p. 60, exerc. 3.4.13.
Para uma demonstração, veja por exemplo o curso sobre Wikiversidade .
(in) DJS Robinson (de) , A Course in the Theory of Groups , Springer , al. " GTM " ( n o 80)1996, 2 nd ed. ( DOI 10.1007 / 978-1-4419-8594-1 , ler online ) , p. 124.

Veja também