Hamiltoniano de Heisenberg

Na teoria do magnetismo quântico , o hamiltoniano de Heisenberg descreve um conjunto de momentos magnéticos interagentes localizados. Este hamiltoniano está escrito:

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i, j} J_ {ij} {\ vec {S}} _ {i} \ cdot {\ vec {S}} _ {j } - \ sum _ {i} g_ {i} \ mu _ {B} {\ vec {h}} \ cdot {\ vec {S}} _ {i}}

que é o magneto de Bohr , é a razão giromagnética, o $i-$ ésimo momento localizado é o operador de spin , é o campo magnético externamente e é a constante de troca. Pois a interação é antiferromagnética e por isso é ferromagnética . Em geral, os sites $i$ são colocados nos nós de uma rede regular. Uma exceção é o caso de vidros de spin onde os momentos magnéticos são impurezas magnéticas diluídas em um metal não magnético (por exemplo, ferro diluído em ouro ou manganês em cobre). $\ mu_B$ $g_ {i}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}} _ {i}}$ ${\ vec {h}}$ $J _ {{ij}}$ ${\ displaystyle J_ {ij}> 0}$ $J _ {{ij}} <0$

Em um sistema em uma rede bipartida formada por duas sub-redes A e B, se os spins não tiverem todos idênticos, por exemplo se na sub-rede A e na sub-rede B falaremos de um modelo ferrimagnético . ${\ displaystyle {\ vec {S}} _ {i} ^ {2} = S_ {i} (S_ {i} +1)}$ $Sim}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}} _ {i} ^ {2} = S_ {A} (S_ {A} +1)}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}} _ {i} ^ {2} = S_ {B} (S_ {B} +1)}$

Um conceito importante na análise do modelo de Heisenberg é o de frustração. Diz-se que há frustração quando não é possível minimizar cada termo de forma independente . Este caso pode ocorrer tanto em vidros de spin quanto em modelos antiferromagnéticos na rede triangular ou na rede Kagomé . Neste último caso, falamos de frustração determinística. ${\ displaystyle J_ {ij} {\ vec {S}} _ {i} \ cdot {\ vec {S}} _ {j}}$

Histórico

Caixa isolante

Em um isolador, a interação de troca diminui exponencialmente com a distância entre os spins localizados, pois depende da sobreposição dos orbitais. Portanto, podemos nos restringir às interações apenas entre os primeiros spins vizinhos ou entre o primeiro e o segundo vizinhos. Em geral, a interação se deve a um mecanismo de supertroca. Na maioria das vezes, é antiferromagnético. As regras de Goodenough prevêem o sinal de interações de supertroca em óxidos. Se as ligações entre os íons magnéticos e os íons de oxigênio formarem ângulos de cerca de 180 °, a interação de troca entre os íons magnéticos será antiferromagnética. Se os ângulos forem de 90 °, as interações serão ferromagnéticas.

Caixa de óculos giratórios

Para impurezas diluídas em um metal (caso dos vidros de spin), a interação é uma interação Ruddermann-Kittel-Kasuya-Yosida mediada pelos elétrons de condução que diminui com a distância entre as impurezas semelhantes e seus sinais alternados. Segue-se em particular que em um vidro de spin, os momentos magnéticos não têm configuração que minimize todas as energias de troca existentes entre esses momentos magnéticos. Estamos falando sobre frustração. Para descrever essas interações aleatórias entre momentos magnéticos, consideramos modelos simplificados onde os íons magnéticos são colocados em uma rede regular, mas as energias de troca são aleatórias. Quando as interações aleatórias são apenas entre os primeiros vizinhos, falamos de um modelo de Edwards-Anderson. Quando as interações aleatórias são de alcance infinito, é chamado de modelo de Sherrington-Kirkpatrick ( in ). $J _ {{ij}}$ $r_ {ij}$ ${\ displaystyle 1 / r_ {ij} ^ {3}}$

Generalizações

Anisotropias

Em um cristal, a simetria é reduzida a um grupo de espaço. Portanto, as interações entre os spins não necessariamente possuem a invariância pelo grupo SU (2) . Para descrever corretamente as propriedades magnéticas, torna-se necessário o uso de uma generalização do modelo de Heisenberg contendo termos de anisotropia .

Íon único

No caso em que os spins , os termos não são reduzidos a constantes. Em um cristal de simetria suficientemente baixa, pode, portanto, existir nos termos hamiltonianos magnéticos da forma: $S \ geq 1$ ${\ displaystyle (S_ {n} ^ {z}) ^ {2}}$

{\ displaystyle \ sum _ {n, \ alpha = x, y, z} D _ {\ alpha} (S_ {n} ^ {\ alpha}) ^ {2},}

onde podemos supor que , desde . Esses termos são chamados de "anisotropia de íon único". Sim , eles tendem a impedir que o ímã se alinhe com a direção . ${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha} D _ {\ alpha} = 0}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}} ^ {2} = S (S + 1)}$ ${\ displaystyle D _ {\ alpha}> 0}$ $\alfa$

Troca anisotrópica

Também é possível encontrar interações do formulário:

{\ displaystyle \ sum _ {n, m, \ alpha = x, y, z} J_ {nm} ^ {\ alpha} S_ {n} ^ {\ alpha} S_ {m} ^ {\ alpha}}

No caso mais geral, esse modelo é chamado de modelo XYZ. No caso em que , e existe pelo menos um valor de $n$ para o qual , falamos do modelo XXZ (as direções X e Y sendo equivalentes). Quando falamos de um modelo XY. Se, além disso, estamos falando sobre o modelo XX ou XX0. Se a interação for limitada aos primeiros vizinhos, sim , o sistema tenderá a magnetizar na direção $z,$ que é chamada de eixo fácil. No caso XXZ, com , o sistema magnetiza mais no plano XY, que é chamado de plano fácil. ${\ displaystyle J_ {n} ^ {x} = J_ {n} ^ {y} \ forall n}$ ${\ displaystyle J_ {n} ^ {x} \ neq J_ {n} ^ {z}}$ ${\ displaystyle J_ {n} ^ {z} = 0, \ forall n}$ ${\ displaystyle J_ {n} ^ {x} = J_ {n} ^ {y} \ forall n}$ ${\ displaystyle | J ^ {z} |> | J_ {x} |, | J_ {y} |}$ ${\ displaystyle J_ {x}> J_ {z}}$

Em 1956, Takeo Matsubara e Hirotsugu Matsuda mostraram que, no caso de um spin 1/2, o modelo XXZ é equivalente a um modelo de bósons na rede com repulsão de coração duro e interação de dois corpos medida por . ${\ displaystyle J_ {n} ^ {z}}$

O aparecimento de uma magnetização no plano no modelo XXZ é equivalente à condensação de Bose (ou superfluidez dos bósons) enquanto o aparecimento de uma magnetização alternada no modelo magnético corresponde a uma ordem de carga dos bósons.

Dzyaloshinskii-Moriya

Quando há uma interação spin-órbita, é possível encontrar um hamiltoniano magnético contendo termos da forma:

{\ displaystyle {\ vec {D}} \ cdot ({\ vec {S}} _ {n} \ times {\ vec {S}} _ {m})}

, chamados de termos Dzyaloshinskii-Moriya.

A presença desses termos tende a impor um ângulo entre os momentos magnéticos diferente de zero ou cento e oitenta graus. Em particular, dá origem a um meio antiferromagnético com baixo ferromagnetismo.

Kaplan, Shekhtman, Entin-Wohlmann e Aharony mostraram que se as interações entre elétrons têm simetria SU (2), esta simetria sendo preservada no Hamiltoniano magnético, há também necessariamente um termo de anisotropia adicional no Hamiltoniano, da forma , onde é um tensor simétrico de classificação 2. ${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha, \ beta} D _ {\ alpha \ beta} S_ {n} ^ {\ alpha} S_ {m} ^ {\ beta}}$ ${\ displaystyle D _ {\ alpha \ beta}}$

Troca cíclica

No caso do 3 He sólido, é possível haver trocas com três ou quatro partículas. Devemos então generalizar o hamiltoniano de Heisenberg adicionando termos de troca cíclicos envolvendo três ou quatro spins, respectivamente.

Limite clássico

Referências

Lev Landau e Evgueni Lifchits , Física Teórica , t. 8: Eletrodinâmica de mídia contínua [ detalhe das edições ]

Lev Landau e Evgueni Lifchits , Física Teórica , t. 9: Física estatística (II) [ detalhe das edições ]

LP Lévy Magnetismo e supercondutividade (Ciências EDP)
PW Anderson Noções básicas de física da matéria condensada (Addison-Wesley)
K. Fischer e JA Hertz Spin Glasses (Cambridge University Press)
Princípios da Teoria dos Sólidos de JM Ziman (Cambridge University Press)
Teoria do magnetismo de DC Mattis (Springer)
RM White Quantum Theory of Magnetism (Academic Press)
IE Dzialoshinskii J. de. Phys. Chem. Solids 4 , 241 (1958).
T. Moriya Phys. Rev. 120 , 91 (1960).

Notas e referências

T. Matsubara e H. Matsuda Prog. Theor. Phys. (Kyoto) 16 , 416 (1956)
T. Matsubara e H. Matsuda Prog. Theor. Phys. (Kyoto) 16 , 569 (1956)
TA Kaplan Zeitschrift fur Physik B 49 , 313 (1983).
L. Shekhtman, O. Entin-Wohlman e A. Aharony Phys. Rev. Lett. 69, 836 (1992).