Harmônico cilíndrico
Em matemática , os harmônicos cilíndricos são um conjunto de soluções linearmente independentes da equação diferencial de Laplace.
∇2V=1ρ∂∂ρ(ρ∂V∂ρ)+1ρ2∂2V∂φ2+∂2V∂z2=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial V} { \ parcial \ rho}} \ direita) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial z ^ {2}}} = 0}![{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial V} { \ parcial \ rho}} \ direita) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial z ^ {2}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e1f23c2c2526375f3bee5945fcfedad3dce096)
expresso em coordenadas cilíndricas ρ (raio), φ (azimute) ez (dimensão). Cada função V n ( k ) é o produto de três termos, cada um dependendo apenas de uma coordenada. O termo dependente de ρ é expresso com funções de Bessel (que às vezes também são chamadas de harmônicas cilíndricas).
Definição
Cada função V n ( k ) é expressa como o produto de três funções:
Vnão(k;ρ,φ,z)=Pnão(k,ρ)Φnão(φ)Z(k,z){\ displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}![{\ displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d2199bac0fe7a0179450b0ca2cc18b445feeab)
com ( ρ , φ , z ) as coordenadas cilíndricas, e n e k são constantes que distinguem os membros do conjunto. Como resultado do princípio de superposição aplicado da equação de Laplace, soluções gerais para a equação de Laplace podem ser obtidas por combinações lineares dessas funções.
Como todas as superfícies para ρ , φ ou z são cônicas, a equação de Laplace é separável em coordenadas cilíndricas. Pela técnica de separação de variáveis , uma solução separada da equação de Laplace pode ser escrita:
V=P(ρ)Φ(φ)Z(z){\ displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}![{\ displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0634d66da3555f52bb4d6e2d88c15740ff4a1920)
e ao dividir a equação de Laplace por V , simplifica em:
P¨P+1ρP˙P+1ρ2Φ¨Φ+Z¨Z=0{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bf8224090b271c838f593978d61afe446aac85)
O termo em Z depende apenas de z e, portanto, deve ser igual a uma constante:
Z¨Z=k2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dcfdc5395309937b67813621de7d6407a14dd55)
onde k é, em geral, um número complexo . Para um dado valor de k , Z tem duas soluções linearmente independentes.
- se k é real, podemos escrever:
Z(k,z)=cosh(kz) ovocê sinh(kz){\ displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {ou} \ \ sinh (kz) \,}![{\ displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {ou} \ \ sinh (kz) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee8bed9425f108c1c6b077793d8ba3eba24cd88)
ou, dependendo de seu comportamento ad infinitum:
Z(k,z)=ekz ovocê e-kz{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {kz} \ \ mathrm {ou} \ {\ rm {e}} ^ {- kz} \,}
Z(k,z)=porque(|k|z) ovocê pecado(|k|z){\ displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {ou} \ \ sin (| k | z) \,}![{\ displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {ou} \ \ sin (| k | z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acd51543c110cb967fac9095e238569cafd0526)
ou :
Z(k,z)=eeu|k|z ovocê e-eu|k|z{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} | k | z} \ \ mathrm {ou} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} | k | z} \,}
Podemos notar que as funções Z ( k , z ) são os núcleos da transformação de Fourier ou da transformação de Laplace da função Z ( z ) e, portanto, k pode ser uma variável discreta para condições de contorno periódicas, ou uma variável contínua para condições de borda não periódicas.
Substituímos k 2 por , agora temos:
Z¨/Z{\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}![{\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1862dcecd5909da6283488ae99db938b6aee1e8b)
P¨P+1ρP˙P+1ρ2Φ¨Φ+k2=0{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28e778708ed346da35e0307c577b7787ba4ab02)
Multiplicando por ρ 2 , podemos separar as funções P e Φ e introduzir uma nova constante n por razões semelhantes a k para o termo que depende de φ :
Φ¨Φ=-não2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} = - n ^ {2}}
ρ2P¨P+ρP˙P+k2ρ2=não2{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}![{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf7b107f4f3524387ef47d1e2064a57289281fb)
Como φ é periódico, podemos considerar n positivo e assim, denotaremos as soluções Φ ( φ ) com índices. As soluções reais para Φ ( φ ) são
Φnão=porque(nãoφ) ovocê pecado(nãoφ){\ displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {ou} \ \ sin (n \ varphi)}![{\ displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {ou} \ \ sin (n \ varphi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb39a5b8cd39792195649271a0f7570c8cb2a53)
ou equivalente:
Φnão=eeunãoφ ovocê e-eunãoφ{\ displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {ou} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}![{\ displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {ou} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89030b8bd4638d9dbb697326f191b8399ec9db9b)
Resta o termo P ( ρ ) , que segue a equação de Bessel .
- se k é zero, mas não n , as soluções são:
Pnão(0,ρ)=ρnão ovocê ρ-não{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {ou} \ \ rho ^ {- n} \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {ou} \ \ rho ^ {- n} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6442cee54ba667ebbd6734a55a4b70d70a7f56ef)
- se k e n forem diferentes de zero, as soluções serão:
P0(0,ρ)=emρ ovocê 1{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {ou} \ 1 \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {ou} \ 1 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5676a01dbb4576caa394d3944727b8a28450bd)
- se k for um número real, podemos escrever uma solução real na forma:
Pnão(k,ρ)=Jnão(kρ) ovocê Ynão(kρ){\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {ou} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {ou} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54db49118bb7e697728970c40d44b0eb51cea2a6)
com J n ( z ) e Y n ( z ) , funções de Bessel comuns.
- se k é um número imaginário, podemos escrever uma solução real na forma:
Pnão(k,ρ)=eunão(|k|ρ) ovocê Knão(|k|ρ){\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {ou} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {ou} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0279c579130224e91ab2ecbb5fd54926d24b104)
com
I n ( z ) e
K n ( z ) , funções de Bessel modificadas.
Os harmônicos cilíndricos para ( k , n ) são, portanto, o produto dessas soluções e a solução geral para a equação de Laplace é uma combinação linear deles:
V(ρ,φ,z)=∑não∫dkNOnão(k)Pnão(k,ρ)Φnão(φ)Z(k,z){\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac45c1538a9077bb53d3c02a1ae1832a9004072)
onde os A n ( k ) são constantes dependendo da forma cilíndrica e dos limites da soma e da integral, dados pelas condições na borda do problema. Certos casos de condições de contorno tornam possível substituir a integral por uma soma discreta. A ortogonalidade de J n ( x ) costuma ser útil para encontrar a solução em um caso específico. As funções Φ n ( φ ) Z ( k , z ) são essencialmente expansões de Fourier ou Laplace e formam um conjunto de funções ortogonais. Para o caso P n ( kρ ) = J n ( kρ ) , a ortogonalidade de J n , com as relações de ortogonalidade de Φ n ( φ ) e Z ( k , z ) permite determinar as constantes.
Observando { x k } os zeros positivos de J n , temos:
∫01Jnão(xkρ)Jnão(xk′ρ)ρdρ=12Jnão+1(xk)2δkk′{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2eb9c188f5489ff969271d27555fa7435ffbc2)
Na resolução de problemas, o espaço pode ser dividido em um número finito de subespaços, desde que os valores do potencial e de sua derivada correspondam ao longo de um limite sem uma fonte.
Exemplo: ponto de origem em um tubo cilíndrico condutor
Procuramos determinar o potencial de uma fonte pontual localizada em ( ρ 0 , φ 0 , z 0 ) em um tubo cilíndrico condutor (como uma lata vazia) delimitada pelos dois planos z = ± L e nas bordas pelo cilindro ρ = a . (Em unidades MKS, assumiremos q / 4π ε 0 = 1 ). Como o potencial é limitado pelos planos no eixo z , a função Z ( k , z ) pode ser considerada periódica. O potencial deve ser zero na origem, tomamos P n ( kρ ) = J n ( kρ ) , tal que um de seus zeros está no cilindro limite. Para um ponto de medição sob o ponto de origem no eixo z , o potencial será:
V(ρ,φ,z)=∑não=0∞∑r=0∞NOnãorJnão(knãorρ)porque(não(φ-φ0))sinh(knãor(eu+z))z≤z0{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcac615b58005b89df1936d9b680bf0a269ac4b)
com k nr a , o r e zero de J n ( z ) e, pelas relações de ortogonalidade para cada função:
NOnãor=4(2-δnão0)no2sinhknãor(eu-z0)sinh2knãoreuJnão(knãorρ0)knãor[Jnão+1(knãorno)]2{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}![{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4eb5e3569947e4b1f824713a44baee89017cf6)
Acima do ponto de origem, teremos:
V(ρ,φ,z)=∑não=0∞∑r=0∞NOnãorJnão(knãorρ)porque(não(φ-φ0))sinh(knãor(eu-z))z≥z0{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (Lz)) \, \, \, \, \, z \ geq z_ {0}}
NOnãor=4(2-δnão0)no2sinhknãor(eu+z0)sinh2knãoreuJnão(knãorρ0)knãor[Jnão+1(knãorno)]2.{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}![{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba17c88a547a517467acec9b9a0ea8eb6078143)
Descobrimos que para ρ = a ou | z | = L , a função é cancelada. Também podemos verificar se os valores das duas soluções e suas derivadas coincidem para z = z 0 .
Ponto fonte em um tubo cilíndrico condutor infinito
Removemos as condições de contorno em z ( L → ). A solução então se torna:
V(ρ,φ,z)=∑não=0∞∑r=0∞NOnãorJnão(knãorρ)porque(não(φ-φ0))e-knãor|z-z0|{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k_ {nr} | z-z_ {0} |}}
NOnãor=2(2-δnão0)no2Jnão(knãorρ0)knãor[Jnão+1(knãorno)]2.{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {2 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}
Ponto de origem no espaço livre
Também removemos as condições de contorno em ρ ( a → ∞ ). A soma dos zeros de J n ( z ) torna-se uma integral, e então vem o campo de um ponto de origem em um espaço livre infinito:
V(ρ,φ,z)=1R=∑não=0∞∫0∞NOnão(k)Jnão(kρ)porque(não(φ-φ0))e-k|z-z0|dk{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {R}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} A_ {n} (k) J_ {n} (k \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k | z-z_ {0} | } \, \ mathrm {d} k}
NOnão(k)=(2-δnão0)Jnão(kρ0){\ displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}![{\ displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8876e18f7f7ed8c16a994c81c4d15ddb383639)
e R é a distância do ponto de origem ao ponto de medição:
R=(z-z0)2+ρ2+ρ02-2ρρ0porque(φ-φ0).{\ displaystyle R = {\ sqrt {(z-z_ {0}) ^ {2} + \ rho ^ {2} + \ rho _ {0} ^ {2} -2 \ rho \ rho _ {0} \ cos (\ varphi - \ varphi _ {0})}}. \,}
Ponto de origem no espaço livre na origem
Finalmente, fixamos ρ 0 = z 0 = 0 . Ele vem então
V(ρ,φ,z)=1ρ2+z2=∫0∞J0(kρ)e-k|z|dk.{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0d66700d466001ac039e080196f789b40bcf07)
Veja também
Notas
-
Smythe 1968 , p. 185
-
Guillopé 2010 .
-
Este caso é estudado em Smythe 1968
Referências
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