Hipótese generalizada de Riemann

A hipótese de Riemann é uma das conjecturas mais importantes da matemática e diz respeito aos zeros da função de Riemann ζ . Vários objetos geométricos e aritméticos podem ser descritos pelas chamadas funções L globais, que são formalmente semelhantes à função zeta de Riemann. Podemos então fazer a mesma pergunta sobre os zeros dessas funções L, fornecendo várias generalizações da hipótese de Riemann. Nenhuma dessas conjecturas foi confirmada ou refutada por provas, mas muitos matemáticos acreditam que são verdadeiras.

As funções L globais podem ser associadas a curvas elípticas , campos numéricos (neste caso, eles são chamados de funções zeta de Dedekind ), ondas de Maass (en) e caracteres de Dirichlet (neste caso, eles são chamados de funções L de Dirichlet ). Quando a hipótese de Riemann é formulada para as funções zeta de Dedekind, ela é conhecida como hipótese de Riemann estendida ( HRE ) e quando formulada para as funções L de Dirichlet, é conhecida como hipótese de Riemann d ' generalizada ( HRG ).

Hipótese generalizada de Riemann (HRG)

A hipótese generalizada de Riemann foi provavelmente formulada pela primeira vez por Adolf Piltz (de) em 1884 . Como a hipótese original de Riemann, ela tem consequências importantes na distribuição dos números primos .

Definições

Um caractere de Dirichlet é uma função aritmética completamente multiplicativa χ para a qual existe um inteiro natural k > 0 tal que, para qualquer inteiro n , temos χ ( n + k ) = χ ( n ) e χ ( n ) = 0 se n não é primo com k .

Definimos a função Dirichlet L de tal personagem por:

L (\ chi, s) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (n)} {n ^ {s}}}

para qualquer número complexo s da parte real > 1. Por continuação analítica , esta função pode ser estendida a uma função meromórfica definida em todo o plano complexo.

Estados

A afirmação da hipótese generalizada de Riemann é a seguinte:

Para qualquer caractere de Dirichlet χ, se s for um número complexo tal que L (χ, s ) = 0 e se sua parte real estiver estritamente entre 0 e 1, então ele é de fato igual a 1/2.

O caso da trivialidade (χ ( n ) = 1 para todo n ) corresponde à hipótese comum de Riemann .

Consequências da hipótese generalizada de Riemann

Sejam a e d dois números naturais primos , com d diferente de zero. De acordo com um teorema de Dirichlet , a progressão aritmética a , a + d , a + 2 d , a + 3 d … contém uma infinidade de números primos . Denotemos por π ( x , a , d ) o número de números primos pertencentes a essa progressão e menores ou iguais a x .
Se a hipótese generalizada de Riemann for verdadeira, então, para qualquer real ε> 0: $\ pi (x, a, d) = {\ frac 1 {\ varphi (d)}} \ int _ {2} ^ {x} {\ frac 1 {\ ln x}} \, {{\ rm {d }}} x + O (x ^ {{1/2 + \ varepsilon}}) \ quad {\ mbox {quando}} \ x \ to \ infty$ onde $φ$ denota a função de indicador de Euler e O o símbolo de Landau . Esta é uma versão muito mais forte do teorema dos números primos e a versão quantitativa do teorema da progressão aritmética .
Se a hipótese generalizada de Riemann for válida, então, para qualquer inteiro n > 0, qualquer subgrupo possui o grupo de módulo invertível n evita pelo menos um inteiro entre 1 e 2 (ln n ) 2 e pelo menos um primeiro inteiro com n e entre 1 e 3 (ln n ) 2 ; em outras palavras: qualquer número composto m tem uma testemunha de não primalidade menor que 2 (ln m ) 2 e os invertíveis módulo n são gerados por aqueles menores que 3 (ln n ) 2 . Esses resultados são frequentemente usados em demonstrações e têm muitas consequências. Por exemplo :
- se a hipótese de Riemann generalizada é verdade, então o teste de primalidade Solovay-Strassen eo teste de primalidade Miller-Rabin está garantido para ser executado em tempo polinomial (um teste de primalidade tempo polinomial que não exige l generalizada hipótese de Riemann, o teste AKS primality , foi publicado em 2002).
A conjectura de Goldbach fraca também segue a hipótese generalizada de Riemann.

Hipótese estendida de Riemann (HRE)

Seja K um campo numérico (uma extensão finita do campo ℚ de números racionais ) e O K o anel de seus inteiros (o fechamento integral em K do anel ℤ de inteiros relativos ). Se $a$ é um ideal diferente de zero de O K , denote sua norma por $Na$ . A função zeta de Dedekind de K é então definida por

\ zeta _ {K} (s) = \ sum _ {a} {\ frac 1 {(Na) ^ {s}}}

para qualquer número complexo s com parte real> 1. A soma abrange todos diferentes de zero ideais $em$ O K .

A função zeta de Dedekind satisfaz uma equação funcional e pode ser estendida por prolongamento analítico sobre todo o plano complexo. A função resultante contém informações importantes sobre o campo de número K .

A hipótese estendida de Riemann afirma que:

Para qualquer campo de números K , se s é um número complexo tal que ζ K ( s ) = 0 e se sua parte real está estritamente entre 0 e 1, então ele é de fato igual a 1/2.

O caso da extensão trivial ( K = ℚ, portanto O K = ℤ) corresponde à hipótese comum de Riemann.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Hipótese generalizada de Riemann " ( ver a lista de autores ) .

(en) Peter Borwein , The Riemann Hypothesis: A Resource for the Cadeaux and Virtuoso Alike , Springer ,2008( leia online ) , p. 57.
(em) Eric Bach (em) , " Limites explícitos para testes de primalidade e problemas relacionados " , Matemática. Comp. , vol. 55,1990, p. 355-380 ( ler online ).
Pascal Boyer, pequeno companheiro dos números e suas aplicações , Paris, Calvage e Mounet,2019, 648 p. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , II. Números primos, cap. 3,3. (“Em torno do pequeno teorema de Fermat”), p. 212-213.

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