Ideal máximo

Um ideal máximo é um conceito associado à teoria dos anéis na matemática e, mais especificamente, na álgebra .

Um ideal de um anel comutativo é considerado máximo quando está contido em exatamente dois ideais, ele mesmo e todo o anel. A existência de ideais máximos é garantida pelo teorema de Krull .

Esta definição permite generalizar a noção de elemento irredutível para anéis diferentes dos inteiros relativos . Alguns desses anéis têm um papel importante na teoria dos números algébricos e na geometria algébrica .

Motivações

A aritmética às vezes requer o trabalho em anéis comutativos complicados como alguns dos inteiros algébricos . Os teoremas normalmente usados para construir a teoria, como o da decomposição em fatores primos , não são mais totalmente verificados. Nesse caso, a unicidade da decomposição (exceto para a ordem e os elementos invertíveis ) não é exata.

Porém, para poder construir a teoria, outro conceito permanece operacional: o de ideais. As definições válidas para os elementos, como irredutível , primo , primo entre si como um todo , gcd ou mesmo ppcm , costumam ter definições equivalentes para anéis.

Em um anel principal, a noção de ideal máximo corresponde à de elementos irredutíveis. É usado em particular na teoria dos polinômios .

Definições

Um ideal máximo de um anel comutativo é um ideal tal que existem exatamente dois ideais que o contêm, ele próprio e o anel inteiro.
Um elemento irredutível é um elemento diferente de zero cujo ideal gerado é um elemento máximo do conjunto de ideais principais e próprios (isto é, diferente de todo o anel).

A última definição é equivalente à seguinte:

Um elemento irredutível é um elemento tal que qualquer decomposição em dois fatores contém um e apenas um elemento invertível.

Exemplos

Os ideais máximos do anel ( euclidiano , portanto principal ) ℤ dos inteiros relativos são os ideais da forma p ℤ, para p um número primo . Localizar este anel permite definir os anéis de inteiros p -adic .
Se K é um campo comutativo , os ideais máximos do anel (euclidiano, portanto principal) K [ X ] são os ideais gerados pelos polinômios irredutíveis . No caso em que o campo é algebricamente fechado (por exemplo, para o campo de números complexos ), esses são os polinômios de grau 1. A localização desses anéis leva aos anéis de séries formais .
No caso do anel polinomial com coeficientes no anel de números inteiros, um polinómio irredutível não necessariamente produz um máximo ideal: o ideal gerado por X é estritamente incluído em que gerado por 2 e X .
Se K for um campo comutativo, o único ideal máximo é {0}.
Os anéis com apenas um ideal máximo são de particular importância: esses são os anéis locais . Geralmente são obtidos após um processo de localização que consiste em tornar invertíveis elementos suficientes para que permaneça apenas um ideal máximo.

Propriedades

Anel quociente

Um I ideal de um anel comutativo A é máximo se, e somente se, o anel quociente A / I for um campo.

Conseqüentemente, qualquer ideal máximo é primo .

Esta propriedade torna possível, por exemplo, construir o corpo de fratura de um polinômio irredutível.

Demonstração

Suponha que I seja máximo e mostre que qualquer elemento diferente de zero x de A / I é invertível. Tal elemento x quociente é a classe de um elemento a de A não pertence a I . Como A é comutativo, I + aA é um ideal. Como este ideal estritamente contém I , é igual a um . Isso significa que existe um elemento i de I e um elemento b de A tais que i + ab = 1. Essa igualdade mostra que a classe x de a é invertível, ao contrário a classe de b . Conseqüentemente, A / I é de fato um corpo.
Por outro lado, suponhamos que um / I é um corpo e mostram que todos os ideais J de uma forma rigorosa, I é igual a um . Tal J contém já não pertencente a eu . A classe tem é um elemento de reversão para que haja um elemento b de Um e um elemento i de I de tal modo que i + ab = 1. Isto mostra que a igualdade é um elemento J e, assim, J é igual a um . Conseqüentemente, I é de fato máximo.

Anel principal

No caso de um anel principal , as noções de irredutibilidade e primalidade são confundidas:

Para qualquer I ideal de um anel principal, as seguintes propriedades são equivalentes:

I é primo e não zero;
I é gerado por um elemento não zero e não invertível que, se divide um produto ab , divide a ou b ;
I é gerado por um elemento irredutível;
I é máximo.

Uma demonstração é dada no § “Círculo principal” do artigo sobre os ideais principais .

Teorema de Krull e elementos invertíveis

O teorema de Krull (equivalente ao axioma de escolha ) prevê que em qualquer anel comutativo, um próprio ideal é sempre incluído em pelo menos um ideal máximo.

Conseqüentemente, um elemento do anel é invertível se, e somente se, não pertencer a nenhum ideal máximo. Na verdade, um elemento não é invertível se e somente se o ideal que ele gera for adequado.