Em matemática , mais precisamente no cálculo proposicional , uma implicação recíproca é uma proposição que intercambia a premissa e a conclusão de uma implicação .
O inverso do recíproco é então a implicação inicial.
Quando a implicação tem várias premissas, a troca da conclusão com apenas parte das premissas é às vezes Também chamada de recíproca, como no teorema de Tales, onde as condições de alinhamento permanecem como premissa para a recíproca.
Ao contrário da contraposição de uma implicação, o inverso não é deduzido dessa implicação. Fazer sem precaução Leva à falácia da afirmação do consequente .
A implicação "se A então B" é tem para recíproco, "se B, então A" é .
Às vezes estendemos Essa noção de implicação recíproca para o cálculo de predicados , dizendo que: ou "todo A é B" e ou "todo B é A" são implicações recíprocas umas das outras.
No entanto, uma frase da forma "nenhum A é B" é equivalente a "nenhum B é A". Seu recíproco comum pode ser expresso na forma "tudo o que não é A é B".
P | Q | P → Q | Q → P (recíproco) |
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V | V | V | V |
V | F | F | V |
F | V | V | F |
F | F | V | V |
Quando o inverso de uma implicação não é verdadeiro, a menos que certas hipóteses adicionais sejam verificadas, podemos falar de uma recíproca parcial.
Let Ser um número primo. A seguinte implicação, demonstrada por Euclides , é verdadeira:
Se o número de Mersenne for primo, então o número é um número perfeito .Leonhard Euler demonstrou uma recíproca parcial desta implicação:
Se um número é um número perfeito e se é par, então tem a forma em que é um número primo e é um número de Mersenne primo.Como não sabemos se existem números perfeitos ímpares, não podemos dizer se podemos prescindir da condição de paridade na recíproca parcial de Euler.