Interpolação linear

A interpolação linear é o método mais simples para estimar o valor assumido por uma função contínua entre dois pontos fixos ( interpolação ). Consiste em usar para isso a função afim (da forma f ( x ) = mx + b ) passando pelos dois pontos determinados. Essa técnica foi utilizada sistematicamente quando apenas tabelas numéricas estavam disponíveis para o cálculo com as funções transcendentes : as tabelas também incluídas para esse fim na margem "diferenças tabulares", um meio de cálculo utilizado para o cálculo Interpolação linear.

Finalmente, a interpolação linear é a base da técnica de quadratura digital usando o método trapezoidal .

Princípio

Suponha que saibamos os valores assumidos por uma função em dois pontos e : $f$ $x_ {a}$ $x_ {b}$

$f (x_ {a}) = y_ {a}$ e
$f (x_ {b}) = y_ {b}$ .

O método consiste em abordar a função pela função afim de modo que e ; esta função tem para a equação (três formulações equivalentes): $f$ ${\ bar {f}}$ ${\ bar {f}} (x_ {a}) = y_ {a}$ ${\ bar {f}} (x_ {b}) = y_ {b}$

{\ displaystyle {\ bar {f}} (x) = {\ frac {y_ {a} -y_ {b}} {x_ {a} -x_ {b}}} x + {\ frac {x_ {a} \ cdot y_ {b} -x_ {b} \ cdot y_ {a}} {x_ {a} -x_ {b}}}}

que também podemos escrever ( fórmula de Taylor-Young na primeira ordem):

{\ displaystyle {\ bar {f}} (x) = y_ {a} + (x-x_ {a}) {\ frac {y_ {b} -y_ {a}} {x_ {b} -x_ {a }}}}

ou :

{\ bar {f}} (x) = {\ frac {x_ {b} -x} {x_ {b} -x_ {a}}} y_ {a} + {\ frac {x-x_ {a}} {x_ {b} -x_ {a}}} y_ {b}

Esta última fórmula corresponde à média ponderada.

Exemplos

Interpolação de uma função desconhecida

Por exemplo, se queremos determinar f (2,5) quando sabemos os valores de f (2) = 0,9093 ef (3) = 0,1411, este método consiste em tirar a média dos dois valores sabendo que 2,5 é o ponto médio dos dois pontos. Portanto, obtemos . ${\ displaystyle f (2 {,} 5) \ approx {\ frac {0 {,} 9093 + 0 {,} 1411} {2}} = 0 {,} 5252}$

Interpolação de uma função conhecida

Tanto para calcular o $pecado (0,71284)$ . As tabelas Laborde fornecem:

$x$	$sin x$	Δ (diferença tabular)
0,712	0,653 349 2
		756 7
0,713	0,654 105 9
		756 1
0,714	0,654 862 0

Nesse caso :

{\ displaystyle x_ {a} = 0 {,} 712}

e , porque 0,712 <0,71284 <0,713;

{\ displaystyle x_ {b} = 0 {,} 713}

{\ displaystyle y_ {a} = 0 {,} 6533492}

;

{\ displaystyle y_ {b} -y_ {a} = \ Delta = 7567 \ vezes 10 ^ {- 4}}

e finalmente .

{\ displaystyle x-x_ {a} = 0 {,} 71284-0 {,} 712 = 84 \ vezes 10 ^ {- 5}}

Assim, temos: . ${\ displaystyle \ sin 0 {,} 71284 \ approx 0 {,} 6533492 + {\ frac {7567 \ times 10 ^ {- 4} \ times 84 \ times 10 ^ {- 5}} {10 ^ {- 3} }} = 0 {,} 6539848}$

Na prática, os cálculos são feitos da seguinte forma:

sin 0,712	≈	0,653 349 2
Δ ×. . . . 84	→	. . . . . 635 628
sin 0,712 84	≈	0,653 984 8

O fabricante das tabelas explica que, ao fazer isso, o erro absoluto é menor que 2 × 10 -7 . O mesmo método é explicado nas tabelas de logaritmo de Bouvart e Ratinet .

Precisão

Este método é rápido e fácil, mas sua precisão depende muito do desvio . ${\ displaystyle | x_ {b} -x_ {a} |}$

O cálculo diferencial e integral torna possível, sujeito a certas suposições, calcular o pior caso de erro de interpolação. Em particular, se a função f que queremos interpolar é duas vezes continuamente diferenciável e se o erro de interpolação é dado por: ${\ displaystyle x \ in [x_ {a}, x_ {b}]}$

{\ displaystyle | f (x) - {\ bar {f}} (x) | \ leq C (x_ {b} -x_ {a}) ^ {2}}

onde .

{\ displaystyle C = {\ frac {1} {8}} \ max _ {y \ in [x_ {a}, x_ {b}]} | f '' (y) |}

Em outras palavras, o limite superior do erro é proporcional ao quadrado da distância entre os nós. Outros métodos de interpolação permitem, apoiando-se em três ou mais pontos (em vez de dois), esperar uma redução no erro de interpolação: por exemplo, o método de diferenças divididas de Newton, ou l ' interpolação polinomial . Porém, alguns casos são sensíveis ao fenômeno de Runge , onde o erro de interpolação explode quando o número de pontos é aumentado.

A interpolação linear pode ser usada para encontrar os zeros de uma equação ( método da posição falsa ) ou o cálculo numérico de integrais ( método do trapézio ).

Veja também

Bibliografia

Jean Laborde (pref. Por Jean Kuntzmann ), Numerical tables of elementary functions , ed. Dunod , 1961 (reed. 1968, 1976) - 149 páginas
André Delachet , Les logarithmes , PuF , col. " O que eu sei? ",1960( reimpressão 1964,1968,1972,1977), 128 p. , "O cálculo logarítmico", p. 47-80