Integral de Frullani

Na análise matemática , as integrais de Frullani são integrais indefinidas da forma

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (ax) -f (bx)} {x}} \, \ mathrm {d} x \ quad (a, b> 0)}

Se $f$ é localmente integrável ao longo do intervalo aberto e admite um limite em ambos os limites, então a integral converge e ${\ displaystyle \ left] 0, + \ infty \ right [}$

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (ax) -f (bx)} {x}} \, \ mathrm {d} x = (f (\ infty) -f ( 0)) \ ln {\ frac {a} {b}}}

. Demonstração

${\ displaystyle \ int _ {\ varepsilon} ^ {A} {\ frac {f (ax) -f (bx)} {x}} \, \ mathrm {d} x- (f (\ infty) -f ( 0)) \ ln {\ frac {a} {b}} = \ int _ {bA} ^ {aA} {\ frac {f (t) -f (\ infty)} {t}} \, \ mathrm { d} t- \ int _ {b \ varepsilon} ^ {a \ varepsilon} {\ frac {f (t) -f (0)} {t}} \, \ mathrm {d} t}$ .

Referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Frullani integral " ( ver a lista de autores ) .
(pt) Ralph Palmer Agnew , " Valores médios e integrais de Frullani " , Proc. AMS , vol. 2,1951, p. 237-241 ( ler online )
(pt) Juan Arias-de-Reyna, “ Sobre o Teorema de Frullani ” , Proc. AMS , vol. 109, n o 1,1990, p. 165-175 ( ler online )
(pt) Bruce C. Berndt , “ Ramanujan's Quarterly Reports ” , Bulletin of the London Mathematical Society , vol. 16, n o 5,1984, p. 295-357 ( ler online ) : veja p. 313-318
(en) G. Boros e V. Moll, Irresistible Integrals ,2004( leia online ) , p. 98
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(pt) AM Ostrowski , “ Em algumas generalizações da integral de Cauchy-Frullani ” , PNAS , vol. 35,1949, p. 612-616 ( ler online )

Veja também

Integral paramétrico