Isometria parcial

Na análise funcional , uma isometria parcial é um mapa linear entre dois espaços de Hilbert cuja restrição ao complemento ortogonal de seu núcleo é uma isometria .

Esse complemento ortogonal do kernel é chamado de subconjunto inicial e sua imagem é chamada de subconjunto final.

Exemplos

• Qualquer operador unitário em um espaço de Hilbert é uma isometria parcial cujos espaços inicial e final são o espaço de Hilbert considerado.
• No espaço Hermitiana C 2 , o mapa linear representado pela matriz é um isometría parcial, do espaço inicial e espaço definitiva .(0100){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}{0}⊕VS⊆VS⊕VS{\ displaystyle \ {0 \} \ oplus \ mathbb {C} \ subseteq \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {C}}VS⊕{0}{\ displaystyle \ mathbb {C} \ oplus \ {0 \}}

Outra definição

Se U é uma isometria definida no subespaço fechado H 1 de um espaço de Hilbert H , então existe uma extensão única W de U em todo H que é uma isometria parcial. Esta extensão é definida estendendo-se por 0 no complemento ortogonal de H 1 .

Assim, às vezes chamamos de isometria parcial uma isometria definida em um subespaço fechado de um Hilbert.

Caracterização

Isometrias parciais também são caracterizadas por W W * ou W * W ou uma projeção . Se isso acontecer, tanto WW * quanto W * W são projeções. Isso torna possível definir uma isometria parcial para C * -álgebras da seguinte forma:

Se A é um C * álgebra, diz-se que um elemento W de Um é uma isométrica parcial se W * W ou WW * é uma projecção ( autoadjunto operador idempotente ) em um . Neste caso, ambos são projecções ortogonais , respectivamente chamados a projecção inicial e a projecção final de W .

Quando A é uma álgebra operador , as imagens de estas projecções são, respectivamente, o subespaço inicial e o final do subespaço W .

Também podemos mostrar que isometrias parciais são caracterizadas pela equação:

C=CC∗C.{\ displaystyle W = WW ^ {*} W.}

Duas projeções, uma das quais é a projeção inicial e a outra a projeção final da mesma isometria parcial, são consideradas equivalentes. Esta é uma relação de equivalência que desempenha um papel importante na teoria K das álgebras C * e na teoria das projeções de Murray  (en) - von Neumann nas álgebras de Von Neumann .

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado "  Isometria parcial  " ( ver a lista de autores ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">