Método secante

Na análise numérica , o método da secante é um algoritmo para encontrar o zero de uma função $f$ .

O método

O método da secante é um método comparável ao de Newton , onde substituímos por Obtemos a relação de recorrência : $f '(x_ {n}) \,$ ${\ frac {f (x_ {n}) - f (x _ {{n-1}})} {x_ {n} -x _ {{n-1}}}}.$

x _ {{n + 1}} = x_ {n} - {\ frac {x_ {n} -x _ {{n-1}}} {f (x_ {n}) - f (x _ {{n -1}})}} f (x_ {n}).

A inicialização requer dois pontos $x 0$ e $x 1$ , perto, se possível, para a solução procurada. Não é necessário que $x 0$ e $x 1$ coloque uma raiz de $f$ . O método da secante também pode ser visto como uma generalização do método da posição falsa , onde os cálculos são iterados.

Demonstração

Dado $um$ e $b$ , que construir a linha que passa através de $( uma , f ( um ))$ e $( b , f ( b ))$ . Sua equação é:

yf (b) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} (xb).

Escolhemos $c$ igual à abscissa do ponto de ordenadas $y = 0$ desta linha:

f (b) + {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} (cb) = 0.

Se extrairmos $c$ desta equação, encontramos a relação de recorrência citada acima:

c = b - {\ frac {ba} {f (b) -f (a)}} f (b),

com

{\ displaystyle c = x_ {n + 1}, \, b = x_ {n}, \, a = x_ {n-1}.}

Convergência

Se os valores iniciais $x 0$ e $x 1$ estão suficientemente perto para a solução, o método terá uma ordem de convergência de

\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ simeq 1.618

que é a proporção áurea .

Podemos demonstrar esse resultado assumindo que a função $f$ é duas vezes continuamente diferenciável e a solução é uma raiz simples de $f$ .

Nenhuma dessas duas condições é, entretanto, necessária, nem para aplicar o método, nem para garantir sua convergência. O método não pode certamente ser aplicado se a função não mostram uma mudança de sinal entre $x 0$ e $X 1$ ( por exemplo: $f ( x ) = x 2$ entre -1 e 1). Porém, para qualquer função contínua que apresenta mudança de sinal e admite uma única raiz no intervalo considerado, o método se aplica e converge pelo menos linearmente. Não é necessário que $f$ seja diferenciável: o método pode ser aplicado a uma função contínua em nenhum lugar diferenciável , como a função de Weierstrass .

Veja também

Classificação e referência

Demonstração em Nikolai Bakhvalov, Métodos Numéricos , Moscou, Edições Mir ,1976, p. 402-403.

Bibliografia

Jean Dieudonné , Calculus infinitesimal [ detalhe das edições ], indivíduo. II