Teorema mestre de Ramanujan
Na matemática , o “teorema mestre” de Ramanujan (devido a Srinivasa Ramanujan , e encontrado em seus cadernos após sua morte) é uma técnica que produz uma forma explícita da transformada de Mellin de uma função analítica .
Declaração do teorema
Sob hipóteses que foram especificadas por Hardy , e que são sempre verificadas para as aplicações feitas por Ramanujan, o teorema é o seguinte:
Teorema mestre - Se é uma função com valores complexos desenvolvíveis em séries inteiras na forma
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
f(x)=∑k=0∞ϕ(k)k!(-x)k{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ phi (k)} {k!}} (- x) ^ {k} \!}![{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ phi (k)} {k!}} (- x) ^ {k} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52fe84be86e5038fcba0c11e002798f1c8be5ab8)
,
então, sob certas suposições sobre a função , a transformada de Mellin de é dada por
s↦ϕ(s){\ displaystyle s \ mapsto \ phi (s)}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
∫0∞xs-1f(x)dx=Γ(s)ϕ(-s){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, dx = \ Gamma (s) \ phi (-s)}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, dx = \ Gamma (s) \ phi (-s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec03703feba687e2a375cfdddf4ecab5f0cf5a9)
,
onde está a função gama .
Γ(s){\ displaystyle \ Gamma (s)}![{\ displaystyle \ Gamma (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5e07eea9dfb68e7d8417e60d6d7768982061fc)
Ramanujan freqüentemente o usava para calcular integrais definidas e séries inteiras.
Outras formas do teorema
Outra forma do teorema mestre é:
∫0∞xs-1(λ(0)-xλ(1)+x2λ(2)-⋯)dx=πpecado(πs)λ(-s){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} ({\ lambda (0) -x \ lambda (1) + x ^ {2} \ lambda (2) - \ cdots} ) \, dx = {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi s)}} \ lambda (-s)}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} ({\ lambda (0) -x \ lambda (1) + x ^ {2} \ lambda (2) - \ cdots} ) \, dx = {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi s)}} \ lambda (-s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b32da14f907a6e27c210317dedbd86799be734)
que retorna ao anterior por substituição , usando a equação funcional da função gama .
λ(não)=ϕ(não)Γ(1+não){\ displaystyle \ lambda (n) = {\ frac {\ phi (n)} {\ Gamma (1 + n)}} \!}![{\ displaystyle \ lambda (n) = {\ frac {\ phi (n)} {\ Gamma (1 + n)}} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d3364bc976157604abd6ba9e3e24c32b5f7bde)
A integral anterior é convergente para (se satisfizer as condições de crescimento adequadas).
0<Ré(s)<1{\ displaystyle 0 <\ operatorname {Re} (s) <1}
ϕ{\ displaystyle \ phi}![\ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
Um resultado semelhante foi obtido por JWL Glaisher em 1874, mas recebeu pouca atenção.
Demonstração de Hardy
O teorema geralmente está errado; uma demonstração sob suposições "naturais" (mas não a mais baixa necessária) foi dada por G. H. Hardy , usando o teorema dos resíduos e a inversão do teorema Mellin (em) .
As hipóteses mais simples para a demonstração são de fato estas:
- para |x|<no≤1,f(x)=∑k=0∞ϕ(k)k!(-x)k{\ displaystyle | x | <a \ leq 1, f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ phi (k)} {k!}} (- x) ^ {k}}
-
ϕ(-s){\ displaystyle \ phi (-s)}
é analítico para ℜ(s)<ϵ{\ displaystyle \ Re (s) <\ epsilon}
-
Γ(s)ϕ(-s){\ displaystyle \ Gamma (s) \ phi (-s)}
tem uma diminuição exponencial na linha vertical ℜ(s)=ϵ/2{\ displaystyle \ Re (s) = \ epsilon / 2}
- limR→∞∫|s|=R,ℜ(s)<ϵ/2Γ(s)ϕ(-s)ds=0{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} \ int _ {| s | = R, \ Re (s) <\ epsilon / 2} \ Gamma (s) \ phi (-s) ds = 0}
![{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} \ int _ {| s | = R, \ Re (s) <\ epsilon / 2} \ Gamma (s) \ phi (-s) ds = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20b67e804fbce028a2193f2f972ab2281ee4b30)
Para qualquer um . A diminuição exponencial de implica que g é analítico ativado .
x>0{\ displaystyle x> 0}
g(x)=12euπ∫ℜ(s)=ϵ/2Γ(s)ϕ(-s)x-sds{\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {2i \ pi}} \ int _ {\ Re (s) = \ epsilon / 2} \ Gama (s) \ phi (-s) x ^ {- s} ds}
Γ(s)ϕ(-s){\ displaystyle \ Gamma (s) \ phi (-s)}
]0,∞[{\ displaystyle] 0, \ infty [}![{\ displaystyle] 0, \ infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103a5a305a61f6370460c3c4c6882164cd4e0ff4)
Além disso, o teorema resíduo dá para , . Portanto, g é de fato a continuação analítica de f .
x∈]0,no[{\ displaystyle x \ in] 0, a [}
g(x)=∑k=0∞Res(Γ(s)ϕ(-s)x-s,-k)=∑k=0∞Res(Γ(s),-k)ϕ(k)xk=f(x){\ displaystyle g (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ text {Res}} (\ Gamma (s) \ phi (-s) x ^ {- s}, - k) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ text {Res}} (\ Gamma (s), - k) \ phi (k) x ^ {k} = f (x)}![{\ displaystyle g (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ text {Res}} (\ Gamma (s) \ phi (-s) x ^ {- s}, - k) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ text {Res}} (\ Gamma (s), - k) \ phi (k) x ^ {k} = f (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c94c2fe2db066aad4714c97caa254ba2abf20fb)
Finalmente, como é limitado, pela inversão de Mellin, temos:g(x)xϵ/2{\ displaystyle g (x) x ^ {\ epsilon / 2}}![{\ displaystyle g (x) x ^ {\ epsilon / 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d5f481ee604d1bfc3ce0e8626ad0b44fa02ad5)
Γ(s)ϕ(-s)=∫0∞g(x)xs-1dx{\ displaystyle \ Gamma (s) \ phi (-s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} g (x) x ^ {s-1} dx}![{\ displaystyle \ Gamma (s) \ phi (-s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} g (x) x ^ {s-1} dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f5ffc97cfe04aa3e9dc10edc8d205599c12fef)
para .
ℜ(s)∈]0,ϵ/2[{\ displaystyle \ Re (s) \ in] 0, \ epsilon / 2 [}
Exemplos
Aplicativo para a função Hurwitz zeta
A função geradora dos polinômios de Bernoulli é:
Bk(x){\ displaystyle B_ {k} (x) \!}![{\ displaystyle B_ {k} (x) \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6633e8763a90e8aee48e96b1eaee9ecf4ad3ce3d)
zexzez-1=∑k=0∞Bk(x)zkk!{\ displaystyle {\ frac {ze ^ {xz}} {e ^ {z} -1}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} B_ {k} (x) {\ frac {z ^ {k}} {k!}} \!}![{\ displaystyle {\ frac {ze ^ {xz}} {e ^ {z} -1}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} B_ {k} (x) {\ frac {z ^ {k}} {k!}} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97ca091dcb8799e7cba76433a644ce5c66710f8)
Usando a função zeta de Hurwitz , temos
para .
ζ(s,no)=∑não=0∞1(não+no)s{\ displaystyle \ zeta (s, a) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + a) ^ {s}}} \!}
ζ(1-não,no)=-Bnão(no)não{\ displaystyle \ zeta (1-n, a) = - {\ frac {B_ {n} (a)} {n}} \!}
não≥1{\ displaystyle n \ geq 1 \!}![{\ displaystyle n \ geq 1 \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b6d3f4bb8d1024a9d1db56638066ec221254da)
O teorema mestre, então, torna possível obter a representação integral:
∫0∞xs-1(e-nox1-e-x-1x)dx=Γ(s)ζ(s,no){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} \ left ({\ frac {e ^ {- ax}} {1-e ^ {- x}}} - {\ frac {1} {x}} \ right) \, dx = \ Gamma (s) \ zeta (s, a) \!}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} \ left ({\ frac {e ^ {- ax}} {1-e ^ {- x}}} - {\ frac {1} {x}} \ right) \, dx = \ Gamma (s) \ zeta (s, a) \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5ef655bc8d4dd103cf713f2d11e3992bb5dac4)
sim .
0<Ré(s)<1{\ displaystyle 0 <\ operatorname {Re} (s) <1 \!}![{\ displaystyle 0 <\ operatorname {Re} (s) <1 \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5102e9311335e6e0e48fc7d969e943e5204e21d4)
Aplicação à função gama
Usando a definição de Weierstrass :
Γ(x)=e-γxx∏não=1∞(1+xnão)-1ex/não{\ displaystyle \ Gamma (x) = {\ frac {e ^ {- \ gamma x}} {x}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {- 1} e ^ {x / n} \!}![{\ displaystyle \ Gamma (x) = {\ frac {e ^ {- \ gamma x}} {x}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {- 1} e ^ {x / n} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af843c32c9b809ed94acc11c212ad5e5e5c1f756)
,
equivalente a
registroΓ(1+x)=-γx+∑k=2∞ζ(k)k(-x)k{\ displaystyle \ log \ Gamma (1 + x) = - \ gamma x + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (k)} {k}} (- x) ^ {k} \!}![{\ displaystyle \ log \ Gamma (1 + x) = - \ gamma x + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (k)} {k}} (- x) ^ {k} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f7e57d14702d7e72d92a3351112e2e78518d15)
(onde está a
função zeta de Riemann ), o teorema mestre então dá:
ζ(k){\ displaystyle \ zeta (k) \!}
∫0∞xs-1γx+registroΓ(1+x)x2dx=πpecado(πs)ζ(2-s)2-s{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} {\ frac {\ gamma x + \ log \ Gamma (1 + x)} {x ^ {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi s)}} {\ frac {\ zeta (2-s)} {2-s}} \!}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} {\ frac {\ gamma x + \ log \ Gamma (1 + x)} {x ^ {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi s)}} {\ frac {\ zeta (2-s)} {2-s}} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199df5193b47ee5080a7288d4b159f20b3c41dad)
(para ).
0<Ré(s)<1{\ displaystyle 0 <\ operatorname {Re} (s) <1 \!}
Em particular, para e , obtemos
s=12{\ displaystyle s = {\ frac {1} {2}} \!}
s=34{\ displaystyle s = {\ frac {3} {4}} \!}![{\ displaystyle s = {\ frac {3} {4}} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df0caf6245ead17d05c0d81e92e255841abfbf1)
∫0∞γx+registroΓ(1+x)x5/2dx=2π3ζ(32){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ gamma x + \ log \ Gamma (1 + x)} {x ^ {5/2}}} \, dx = {\ frac { 2 \ pi} {3}} \ zeta \ left ({\ frac {3} {2}} \ right)}
∫0∞γx+registroΓ(1+x)x9/4dx=24π5ζ(54){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ gamma x + \ log \ Gamma (1 + x)} {x ^ {9/4}}} \, dx = {\ sqrt { 2}} {\ frac {4 \ pi} {5}} \ zeta \ left ({\ frac {5} {4}} \ right)}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ gamma x + \ log \ Gamma (1 + x)} {x ^ {9/4}}} \, dx = {\ sqrt { 2}} {\ frac {4 \ pi} {5}} \ zeta \ left ({\ frac {5} {4}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68559c1dfde89a3da8d3a23c1838622d061f5deb)
,
resultados além do alcance de softwares de álgebra computacional como o Mathematica 7 .
Generalizações
Versões dimensionais superiores deste teorema aparecem na física quântica (via diagramas de Feynman ).
Notas e referências
-
(em) B. Berndt , Ramanujan's Notebooks, Part I , New York, Springer-Verlag ,1985.
-
(en) Godfrey Harold Hardy , Ramanujan. Doze palestras sobre assuntos sugeridos por sua vida e obra , Nova York, Chelsea,1978, 236 p. ( ISBN 0-8284-0136-5 ).
-
(en) Tewodros Amdeberhan , Ivan Gonzalez , Marshall Harrison , Victor H. Moll e Armin Straub , “ Ramanujan's Master Theorem ” , The Ramanujan Journal , vol. 29, n osso 1-3,2012, p. 103-120 ( DOI 10.1007 / s11139-011-9333-y ).
-
(em) JWL Glaisher , " Uma nova fórmula em integrais definidos " , The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science , vol. 48, n o 315,1874, p. 53–55.
-
(in) O. Espinosa e V. Moll , " On Some definitite integrals Envolvendo a função zeta de Hurwitz. Parte 2 ” , The Ramanujan Journal , vol. 6, n o 4,2002, p. 449-468 ( DOI 10.1023 / A: 1021171500736 ).
-
(em) Iván González , VH Moll e Iván Schmidt , " Um teorema mestre de Ramanujan generalizado aplicado à avaliação de diagramas de Feynman " .
links externos
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