Medida de probabilidade

Em matemática , uma medida de probabilidade é uma função de valor real definida sobre um conjunto de eventos em um espaço de probabilidade que satisfaz as propriedades de medida , como -aditividade . A diferença entre uma medida de probabilidade e a noção mais geral de medida (que inclui conceitos como área ou volume ) é que uma medida de probabilidade deve atribuir o valor 1 a todo o espaço de probabilidade. $\ sigma$

Intuitivamente, a propriedade de aditividade diz que a probabilidade atribuída à união de dois eventos desarticulados pela medida deve ser a soma das probabilidades dos eventos, por exemplo, o valor atribuído a "1 ou 2" em um lançamento de dados deve ser a soma dos valores atribuídos a "1" e "2".

As medidas de probabilidade têm aplicações em uma variedade de campos, da física às finanças à biologia.

Definição

As condições para uma função $μ$ ser uma medida de probabilidade em um espaço de probabilidade são as seguintes:

$μ$ deve retornar resultados no intervalo de unidade [0, 1], retornando 0 para o espaço vazio e 1 para o espaço inteiro.

$μ$ deve satisfazer a propriedade de -aditividade , ou seja , para qualquer coleção contável de conjuntos disjuntos dois por dois, temos: $\ sigma$ ${\ displaystyle \ {E_ {i} \}}$

{\ displaystyle \ mu {\ Bigl (} \ bigcup _ {i \ in I} E_ {i} {\ Bigr)} = \ sum _ {i \ in I} \ mu (E_ {i}).}

Por exemplo, dados três elementos 1, 2 e 3 com probabilidades 1/4, 1/4 e 1/2, o valor atribuído a {1, 3} é 1/4 + 1/2 = 3/4, como no diagrama à direita.

A probabilidade condicional com base na interseção de eventos definida por:

{\ displaystyle \ mu (B \ mid A) = {\ frac {\ mu (A \ cap B)} {\ mu (A)}}.}

satisfaz as condições para medir a probabilidade, desde que não seja zero. $\ mu (A)$

As medidas de probabilidade são distintas da noção mais geral de medidas fuzzy nas quais não é necessário que os valores fuzzy totalizem 1, e a propriedade de aditividade é substituída por uma relação de ordem baseada na inclusão de juntos .

Exemplos de aplicações

As medidas de mercado que atribuem probabilidades às áreas dos mercados financeiros com base em movimentos reais do mercado são exemplos de medidas de probabilidade de interesse para as finanças matemáticas , por exemplo, na formação de preços de derivados financeiros . Por exemplo, uma medida neutra ao risco é uma medida de probabilidade que assume que o valor presente dos ativos é o valor esperado do ganho futuro obtido contra essa mesma medida neutra ao risco (ou seja, calculada usando a função de densidade neutra ao risco correspondente), e descontada à taxa livre de risco . Se houver uma única medida de probabilidade que deve ser usada para avaliar ativos em um mercado, então o mercado é chamado de mercado total.

Nem todas as medidas que representam intuitivamente o acaso ou a probabilidade são medidas de probabilidade. Por exemplo, embora o conceito fundamental de um sistema em mecânica estatística seja um espaço de medida, essas medidas nem sempre são medidas de probabilidade. Em geral, em física estatística, se considerarmos sentenças da forma "a probabilidade de um sistema S assumindo que o estado A é p", a geometria do sistema nem sempre leva à definição de uma medida de probabilidade sob congruência, embora possa fazê-lo no caso de sistemas com apenas um grau de liberdade.

Medidas de probabilidade também são usadas em biologia matemática . Por exemplo, na análise comparativa de sequência, uma medida de probabilidade pode ser definida para a probabilidade de que uma variante pode ser permitida para um aminoácido em uma sequência.

Referências

Um curso de matemática para estudantes da física, Volume 2 por Paul Bamberg, Shlomo Sternberg 1991 ( ISBN 0-521-40650-1 ) página 802
O conceito de probabilidade em física estatística por Yair M. Guttmann 1999 ( ISBN 0-521-62128-3 ) página 149
Uma introdução à probabilidade teórica da medida por George G. Roussas 2004 ( ISBN 0-12-599022-7 ) página 47
Probability, Random Processes, and Ergodic Properties por Robert M. Gray 2009 ( ISBN 1-4419-1089-1 ) página 163
Métodos quantitativos na precificação de derivativos por Domingo Tavella 2002 ( ISBN 0-471-39447-5 ) página 11
Decisões irreversíveis sob incerteza por Svetlana I. Boyarchenko, Serge Levendorskiĭ 2007 ( ISBN 3-540-73745-6 ) página 11
Mathematical Methods in Biology de J. David Logan, William R. Wolesensky 2009 ( ISBN 0-470-52587-8 ) página 195
Descobrindo mecanismos biomoleculares com biologia computacional por Frank Eisenhaber 2006 ( ISBN 0-387-34527-2 ) página 127

Bibliografia

Patrick Billingsley , Probability and Measure , John Wiley,1995, 608 p. ( ISBN 0-471-00710-2 )
Robert B. Ash e Catherine A. Doléans-Dade , Probability & Measure Theory , Academic Press ,1999( ISBN 0-12-065202-1 )