Na lógica proposicional , o modus tollens (também denominado modus tollendo tollens , do latim : "modo que, ao negar, nega") é uma forma de argumento válido e uma regra de inferência . Esta é uma aplicação da verdade geral de que, se uma proposição é verdadeira, então também o é sua proposição contraposta .
Os primeiros a descrever explicitamente o modus tollens foram os estóicos .
A regra de inferência do modus tollens é a inferência de que "P implica Q" e a negação do Q consequente resulta na negação do antecedente P.
A regra do modus tollens pode ser formalmente declarada da seguinte forma:
onde significa "P implica Q". significa "não é verdade que Q" (freqüentemente abreviado como "não Q"). Assim, sempre que " " e " " aparecem na linha de evidência, então " " pode ser colocado em uma linha subsequente. A história da regra de inferência do modus tollens remonta aos tempos antigos .
O modus tollens está intimamente relacionado à regra do modus ponens . Existem duas formas de argumentação semelhantes, mas inválidas : a afirmação do consequente e a negação do antecedente .
A regra do modus tollens pode ser escrita em notação sequente:
onde está um símbolo metalógico que significa que é uma consequência lógica de e em certos sistemas lógicos ;
ou na forma de tautologia :
onde e são proposições expressas em um sistema formal ;
ou incluindo as suposições:
mas, uma vez que a regra não altera o conjunto de suposições, ela não é estritamente necessária.
Reescritas mais complexas do modus tollens são frequentemente utilizadas, por exemplo, na teoria dos conjuntos :
("P é um subconjunto de Q. x não está em Q. Portanto, x não está em P.")
Ainda na lógica dos predicados de primeira ordem:
("Para todo x, se x é P, então x é Q. Existe um x que não é Q. Portanto, existe um x que não é P.")
Estritamente falando, esses não são exemplos de modus tollens , mas podem ser derivados usando mais algumas etapas.
O argumento tem duas premissas. A primeira premissa é uma declaração condicional (denotada "se-então"), por exemplo, se P, então Q. A segunda premissa afirma que este não é o caso para Q. A partir dessas duas premissas, pode-se concluir logicamente que isso não é o caso para P.
Vamos dar um exemplo:
Se o watchdog detecta um intruso, o watchdog late. O cão de guarda não latiu. Portanto, nenhum intruso foi detectado pelo watchdog.Supondo que as premissas sejam verdadeiras, o resultado é que nenhum intruso foi detectado. Este é um argumento válido, porque é impossível que a conclusão esteja errada, as premissas sendo verdadeiras. É concebível que tenha havido um intruso que o cão não detectou, mas isso não coloca o argumento em questão.
Cada uso do modus tollens pode ser convertido em um uso do modus ponens e um uso da transposição para a premissa que é uma implicação . Por exemplo :
Se P, então Q. (premissa - implicação material) Se não for Q, então não será P. (derivado da transposição) Não Q. (premissa) Portanto, não P. (derivado do modus ponens )Da mesma forma, cada uso do modus ponens pode ser convertido em um uso do modus tollens .
A validade do modus tollens pode ser facilmente demonstrada usando uma tabela de verdade .
p | q | p → q |
---|---|---|
V | V | V |
V | F | F |
F | V | V |
F | F | V |
Nos casos de aplicação do modus tollens , p → q é verdadeiro eq é falso. Existe apenas a quarta linha da tabela verdade que satisfaz essas duas condições, ela corresponde ao que p é falso. Portanto, em todas as realizações em que as premissas do modus tollens são verdadeiras, o mesmo ocorre com sua conclusão. A forma de raciocínio modus tollens é, portanto, válida.
Passos | Proposta | Derivação |
---|---|---|
1 | Dados | |
2 | Dados | |
3 | Hipótese | |
4 | Modus ponens (1.3) | |
5 | False ( ) | Eliminação da negação (2,4) |
6 | Introdução de negação (3,5) |
Passos | Proposta | Derivação |
---|---|---|
1 | Dados | |
2 | Dados | |
3 | Envolvimento (1) | |
4 | Silogismo Disjuntivo (2,3) |
Passos | Proposta | Derivação |
---|---|---|
1 | Dados | |
2 | Dados | |
3 | Contraposição (1) | |
4 | Modus ponens (2,3) |