Modelo de urnas Ehrenfest
O modelo da urna eleitoral é um modelo estocástico introduzido em 1907 pelo casal Ehrenfest para ilustrar alguns dos “paradoxos” que surgiram nos fundamentos da nascente mecânica estatística . Pouco depois de Boltzmann publicar seu teorema H , fortes críticas foram formuladas, notadamente por Loschmidt , depois por Zermelo , Boltzmann sendo acusado de praticar "matemática duvidosa".
Esse padrão às vezes também é conhecido como " padrão cão e pulga ". O matemático Mark Kac escreveu sobre ele que ele era:
"... provavelmente um dos modelos mais instrutivos em toda a física ..."
O modelo da urna eleitoral
Considere duas urnas A e B , e N bolas, numerados de 1 a N . Inicialmente, todas as bolas estão na urna A . O processo estocástico associado consiste em repetir a seguinte operação:
- Desenhe aleatoriamente um número i entre 1 e N , pegue a bola n ° i , transfira-a para a urna onde ela não estava.
Por convenção, o primeiro instante é .
t0=0{\ displaystyle t_ {0} = 0}![{\ displaystyle t_ {0} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129dee73708133aabd89cd4adf5f38ebcaf23a86)
Dinâmica do modelo
Neste modelo, que siga ao longo do tempo t (discreto) o número total de bolas (t) n presente na urna Uma . Obtemos uma curva que começa inicialmente em n (0) = N e começa diminuindo em direção ao valor médio N / 2 , como seria de esperar para um sistema termodinâmico “bom” inicialmente fora de equilíbrio e relaxando espontaneamente em direção a 1. 'equilibrado.
Mas essa diminuição é irregular: há flutuações em torno do valor médio N / 2 , que às vezes pode se tornar muito grande (isso é particularmente visível quando N é pequeno).
Em particular, independentemente do número de bolas N finalizadas, ainda existem as recorrências ao estado inicial, onde todas as bolas voltam para a urna A após um tempo finito. Mas, como o tempo médio entre duas recorrências consecutivas aumenta muito rapidamente com N , essas recorrências não aparecem para nós quando N é muito grande.
Versão "modelo de cães e pulgas"
Nesta versão, as duas urnas são substituídas por dois cachorros, e as N bolas por N chips, saltando de um cachorro para outro.
Recorrências e teorema de Kac (1947)
Recorrências no estado inicial
Existem recorrências no estado inicial, caracterizadas por uma sequência contável de momentos finitos para os quais todas as bolas voltam à urna A , ou seja, temos: (por convenção, marcamos ). Podemos então definir uma nova sequência contável de durações finitas entre duas recorrências consecutivas.
{tnão}não=1,2,...{\ displaystyle \ {t_ {n} \} _ {n = 1,2, \ dots}}
não(tnão)=NÃO{\ displaystyle n (t_ {n}) = N}
t0=0{\ displaystyle t_ {0} = 0}
τnão=tnão-tnão-1{\ displaystyle \ tau _ {n} = t_ {n} -t_ {n-1}}![{\ displaystyle \ tau _ {n} = t_ {n} -t_ {n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ae58eb6fe327faa5a008fbcbdcd26d3c2b1f10)
Teorema de Kac (1947)
É possível calcular a duração média entre duas recorrências consecutivas no estado inicial:
⟨ τ ⟩ = limp→∞ 1p ∑não=1p τnão{\ displaystyle \ langle \ \ tau \ \ rangle \ = \ \ lim _ {p \ to \ infty} \ {\ frac {1} {p}} \ \ sum _ {n = 1} ^ {p} \ \ você tem um}}
Temos o seguinte teorema [Kac - 1947]:
⟨τ⟩ = 2NÃO{\ displaystyle \ langle \ tau \ rangle \ = \ 2 ^ {N}}
Além disso, podemos mostrar que a dispersão das durações em torno de seu valor médio, caracterizada pelo desvio padrão σ , é da mesma ordem de magnitude:
σ= limp→∞1(p-1)∑não=1p[τnão-⟨τ⟩]2 ∼ ⟨τ⟩{\ displaystyle \ sigma = {\ sqrt {\ \ lim _ {p \ to \ infty} {\ frac {1} {(p-1)}} \ sum _ {n = 1} ^ {p} \, \ esquerda [\, \ tau _ {n} \, - \, \ langle \ tau \ rangle \, \ right] ^ {2} \}} \ \ sim \ \ langle \ tau \ rangle}
Veja por exemplo [Kac-1957].
Solução exata
- Veja, por exemplo: [Kac-1947] e: [Kac-1957]
- Da mesma forma, a medição estacionária do modelo, bem como a velocidade de convergência para a medição estacionária foram estudadas por Mark Kac : ver
Link com uma caminhada aleatória
O modelo de urna Ehrenfest é formalmente semelhante a um passeio aleatório não isotrópico na rede , cujo limite contínuo converge para o movimento browniano de uma partícula elasticamente ligada . Em termos probabilísticos, falamos de convergência para o processo de Ornstein-Uhlenbeck , um processo estocástico definido pela equação diferencial estocástica :
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}![{\ mathbb {Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc)
dxt=θ(µ-xt)dt+σdCt.{\ displaystyle dx_ {t} = \ theta (\ mu -x_ {t}) \, dt + \ sigma \, dW_ {t}. \,}![{\ displaystyle dx_ {t} = \ theta (\ mu -x_ {t}) \, dt + \ sigma \, dW_ {t}. \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c9a23c2bedf1975fc0dc4a81cafcb74daa08be)
Veja, por exemplo: [Kac-1947] e: [Kac-1957]
Artigos relacionados
Bibliografia
- Paul Ehrenfest e Tatiana Ehrenfest; Ueber zwei bekannte Eingewände gegen das Boltzmannsche H-Teorema , Zeitschrift für Physik 8 (1907), 311-314.
- Mark Kac; Random Walk and the Theory of Brownian Motion , American Mathematical Monthly 54 (7) (1947), 369-391. Texto em formato pdf . Este artigo é um de seis em: Selected Papers on Noise & Stochastic Processes , Charles Proteus Steinmetz & Nelson Wax (eds.), Dover Publishing, Inc. (1954). Republicado na coleção Phoenix (2003), ASIN 0486495353.
- Mark Kac; Probability and Related Topics in Physical Science , Lectures in Applied Mathematics Series 1a , American Mathematical Society (1957), ( ISBN 0-8218-0047-7 ) .
- Gérard Emch e Chuang Liu; The logic of thermo-statistics physics , Springer-Verlag (2002), ( ISBN 3-540-41379-0 ) .
- Enrico Scalas, Edgar Martin e Guido Germano; A urna Ehrenfest revisitada: Jogando o jogo em um modelo de fluido realista , Physical Review E 76 (2007), 011104. ArXiv: cond-mat / 0512038 .
- Nils Berglund, “Nosso universo é irreversível? »- Imagens da Matemática, CNRS, 2013 .
Notas
-
Para uma revisão dos fundamentos conceituais da mecânica estatística da época, podemos ler o clássico artigo (publicado originalmente em alemão em 1912): Paul & Tatiana Ehrenfest; The Conceptual Foundations ofthe Statistical Approach in Mechanics , Dover, Inc. (1990), ( ISBN 0-486-66250-0 ) . Nível universitário de segundo ciclo.
-
Do inglês " dog-flea model ".
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Mark Kac , Random Walk and the Theory of Brownian Motion , American Mathematical Monthly 54 (7) (1947), 369-391. Texto em formato pdf .
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