Em matemática , um número autodescritivo ou autobiográfico é um número natural , o primeiro dígito que indica o número 0 que ele contém, o segundo dígito o número 1, etc. , respeitando a ordem numérica .
No sistema decimal , 1210 é um número autodescritivo:
Figuras | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
Ocorrências | 1 | 2 | 1 | 0 |
uma vez que contém um 0, dois 1s, um 2 e zero 3.
Um número autodescritivo:
A identificação de outras propriedades semelhantes possibilita a determinação de todos os números autodescritivos, listados a seguir:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 1 | 0 | ||||||
2 | 0 | 2 | 0 | ||||||
2 | 1 | 2 | 0 | 0 | |||||
3 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |||
4 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
5 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
6 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Esta lista constitui a continuação A046043 do OEIS .
A lista anterior pode ser completada se não nos limitarmos mais a números, levando em consideração as ocorrências de "substrings".
Por exemplo, lemos no número 53 110 100 002 a presença de duas substrings 10: 531 [10] [10] 0002
Sub-strings | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ocorrências | 5 | 3 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
o que o torna um número autodescritivo se a definição for generalizada.
Também podemos adicionar as substrings 11, 12, etc. .
A primeira lista pode, pelo contrário, ser tornada mais restritiva.
No exemplo inicial: 1210, o número 3 é contado, embora esse número não apareça. Como dito anteriormente, a presença de um 0 é, no entanto, obrigatória. Podemos então impor para indicar a ocorrência de cada um dos dez dígitos, e um número autodescritivo deve, portanto, conter dez dígitos.
Apenas 6.210.001.000 atende a essa definição.
A apresentação anterior favorece o sistema decimal . No entanto, é possível definir um número autodescritivo em outras bases de dados .
Por exemplo, 389 305 é escrito 3211000 na base 7 e a matriz
Figuras na base 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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Ocorrências | 3 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
mostra que é um número autoexplicativo neste banco de dados.
É, portanto, a representação do número que importa aqui, e não seu valor: se um número é autodescritivo em uma base b, todos os seus dígitos existem em uma base b 'e que ele não contém mais dígitos do que b' , então a representação desse número também será um número autodescritivo na base b '.
No exemplo a seguir, o número entre parênteses em subscrito indica a base em que o número está escrito. 2020 (10) é um número autodescritivo na base 10. Uma vez que todos os seus dígitos existem na base 4 e não consiste em mais de 4 dígitos, então 2020 (4) (que é igual a 136 (10) ) é também um número autodescritivo na base 4.
Uma consequência dessa propriedade é que se uma representação é um número autoexplicativo na base b, então essa representação também é um número autoexplicativo para qualquer base b 'maior que b. Esta propriedade não é válida para as definições alternativas (por generalização e por restrição) apresentadas neste artigo.