Número de Sierpiński

Em matemática , um número de Sierpiński é um número natural ímpar para o qual todos os números da forma são compostos (ou seja, não primos ), independentemente do número natural . $k$ $NÃO$ ${\ displaystyle N = k2 ^ {n} +1}$ $não$

Em 1960 , Wacław Sierpiński mostrou que há uma infinidade desses números.

Lista dos números primos de Sierpiński

Os primeiros números Sierpiński comprovados, entre 0 e 3.000.000, são:

78 557, 271 129, 271 577, 322 523, 327 739, 482 719, 575 041, 603 713, 903 983, 934 909, 965 431, 1 259 779, 1 290 677, 1 518 781, 1 624 097, 1 639.459 , 1.777.613 , 2.131.043 , 2.131.099 , 2.191.531 , 2.510.177 , 2.541.601 , 2.576.089 , 2.931.767 , 2.931.991 , ... continuação A076336 da OEIS .

Não é certo que esta lista seja exaustiva.

Em particular, em 1962 , tendo descoberto que 78.557 = 17 × 4.621 é um número de Sierpiński, John Selfridge conjecturou que 78.557 era o menor desses números.

Exemplo de verificação de um número Sierpiński: 78 557

John Selfridge provou em 1962 que 78.557 é um número Sierpiński.

Os mostra evidências de que qualquer escolha de n se encaixam em pelo menos uma categoria de 7 onde cada categoria assegura um factor N .

Selfridge demonstrou que:

${\ displaystyle 78 \, 557 \ times 2 ^ {2n} +1}$ é um múltiplo de 3;
${\ displaystyle 78 \, 557 \ times 2 ^ {4n + 1} +1}$ é um múltiplo de 5;
${\ displaystyle 78 \, 557 \ times 2 ^ {3n + 1} +1}$ é um múltiplo de 7;
${\ displaystyle 78 \, 557 \ times 2 ^ {12n + 11} +1}$ é um múltiplo de 13;
${\ displaystyle 78 \, 557 \ times 2 ^ {18n + 15} +1}$ é um múltiplo de 19;
${\ displaystyle 78 \, 557 \ times 2 ^ {36n + 27} +1}$ é um múltiplo de 37;
${\ displaystyle 78 \, 557 \ times 2 ^ {9n + 3} +1}$ é um múltiplo de 73.

Assim, podemos construir a tabela de expoentes do módulo 36:

Se o expoente for congruente módulo 36 a ... (valores da primeira linha abaixo) ,
então N tem como divisor ... (valores da segunda linha abaixo)
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
3	5	3	73	3	5	3	7	3	5	3	13	3	5	3	19	3	5	3	7	3	5	3	13	3	5	3	37	3	5	3	7	3	5	3	13

Assim, por congruência, todos os expoentes são considerados, o que significa que nenhum termo da sequência pode ser primo.

O mesmo pode ser dito dos seguintes números Sierpiński comprovados, a saber: 271 129, 271 577, 322 523, 327 739, 482 719, 575 041, 603 713, 903 983, 934 909, 965 431, 1 259 779, 1,290,677 1.518.781, 1.624.097, 1.639.459, 1.777.613, 2.131.043, etc.

Determinação do menor número de Sierpiński

É conjeturado que 78.557 é o menor número Sierpiński. Para mostrá-lo, basta para cada número ímpar menor encontrar um expoente n tal que ( k 2 n + 1) seja primo. Em 2000 , restavam apenas 17 candidatos possíveis.

Dezessete ou Bust , o projeto decálculo distribuído, começou a testar esses dezessete números para ver se eles poderiam ser eliminados da lista de possíveis números de Sierpiński. Se o projeto descobrir que todos esses números geram um número primo, o projeto terá encontrado uma prova da conjectura de Selfridge.

O projeto consegue encontrar onze números primos adicionais; como resultado, restam apenas 6 números para teste. A 11 ª foi encontrado em outubro 2007 .

Dentro abril de 2016, após um incidente que causou a perda de servidores, o projeto Seventeen or Bust foi interrompido . Os testes continuam no PrimeGrid . Dentrooutubro 2016Um 12 th número for encontrado.

Determinação do menor número primo de Sierpiński

Presume-se que o menor número Sierpiński primo seja 271.129 ...

Notas e referências

(pt) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente de um artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Número de Sierpinski " ( veja a lista de autores ) .

(pt) O problema de Sierpiński: definição e status compilados por Wilfrid Keller em prothsearch.com

Michael Goetz, “ Disturbance, ” on PrimeGrid ,6 de novembro de 2016(acessado em 13 de outubro de 2018 )